Задали трёхзначное число, которое делится на 42 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Давайте разберём задачу шаг за шагом и найдем задуманное трёхзначное число. **Дано:** - Число \( N \) — трёхзначное и делится на 42. - Последняя цифра числа \( N \) не равна 0. - Из этого числа вычли число, составленное теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили 594. Обозначим цифры задуманного числа как \( a \), \( b \), \( c \): - \( a \) — первая (старшая) цифра, - \( b \) — средняя, - \( c \) — последняя. Тогда число \( N \): \[ N = 100a + 10b + c \] Обратное число \( M \): \[ M = 100c + 10b + a \] По условию: \[ N - M = 594 \] Подставляя: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594 \] Раскроем скобки: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594 \] Упростим: \[ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 594 \] \[ 99a + 0 - 99c = 594 \] То есть: \[ 99a - 99c = 594 \] или \[ 99(a - c) = 594 \] Разделим обе части на 99: \[ a - c = \frac{594}{99} = 6 \] Это важное уравнение: \[ a - c = 6 \] Также известно, что \( N \) делится на 42. --- ### Ограничения на цифры: - \( a \) — первая цифра числа, значит \( a \in [1, 9] \). - \( c \) — последняя цифра, \( c \in [1, 9] \), так как последняя цифра не равна нулю. - Из уравнения: \[ a - c = 6 \] следовательно, возможные пары: \[ (a, c) = (7, 1), (8, 2), (9, 3) \] --- ### Проверяем каждую пару на делимость \( N \) на 42: Значит, число \( N = 100a + 10b + c \). --- ### Первый случай: \( a=7, c=1 \) Тогда: \[ N = 700 + 10b + 1 = 701 + 10b \] \( b \in [0,9] \) И \( N \) должно делиться на 42. Проверим, при каких \( b \): \[ 701 + 10b \equiv 0 \; (\bmod 42) \] Посчитаем остаток при делении на 42: \[ 701 \equiv ? \quad (\bmod 42) \] Выделим отдельно: \[ 42 \times 16 = 672 \] \[ 701 - 672 = 29 \] Следовательно: \[ 701 \equiv 29 \pmod{42} \] Теперь: \[ 29 + 10b \equiv 0 \pmod{42} \] Рассмотрим \( 10b \pmod{42} \): - \(10 \times 0 = 0\) - \(10 \times 1=10\) - \(10 \times 2=20\) - \(10 \times 3=30\) - \(10 \times 4=40\) - \(10 \times 5=50 \equiv 8\) (так как \(50 - 42=8\)) - \(10 \times 6=60 \equiv 18\) (60-42=18) - \(10 \times 7=70 \equiv 28\) (70-42=28) - \(10 \times 8=80 \equiv 38\) (80-42*1=38) - \(10 \times 9=90 \equiv 6\) (90-84=6) Итак, \( 10b \mod 42 \) принимает значения: \{0, 10, 20, 30, 40, 8, 18, 28, 38, 6\} в зависимости от \( b=0..9 \). Нам нужно, чтобы сумма равнялась \(-29 \equiv 13 \pmod{42}\), потому что: \[ 29 + 10b \equiv 0 \pmod{42} \] \[ 10b \equiv -29 \equiv 42 - 29 = 13 \pmod{42} \] Теперь, ищем \( b \), при котором \( 10b \equiv 13 \pmod{42} \). Из списка значений видно, что \( 10b \equiv 13 \pmod{42} \) не встречается. Значит, при \( a=7, c=1 \), число \( N \) не делится на 42. --- ### Второй случай: \( a=8, c=2 \) \[ N=800 + 10b + 2 = 802 + 10b \] Проверим делимость на 42: \[ 802 \equiv ? \pmod{42} \] \(42 \times 19=798\) \[ 802 - 798=4 \] Так что: \[ 802 \equiv 4 \pmod{42} \] \[ 4 + 10b \equiv 0 \pmod{42} \] \[ 10b \equiv -4 \equiv 38 \pmod{42} \] Из ранее найденных значений: - \(10b\) возможны: 0, 10, 20, 30, 40, 8, 18, 28, 38, 6. Соответственно, \(10b \equiv 38 \pmod{42}\) при \(b=8\), потому что: \[ 10 \times 8=80 \equiv 80 - 42 \times 1=38 \pmod{42} \] **Значит, при \(b=8\), \( N=802 + 10 \times 8=802+80=882 \).** Проверим делимость: \[ 882 \div 42 = ? \] 42×21=882, значит, число делится на 42. --- ### Смотрим, что получается: - \( a=8 \), - \( c=2 \), - \( b=8 \), - \( N=882 \). Проверьте условие про вычитании: Обратное число: \( M=100c + 10b + a = 100\cdot 2 + 10 \cdot 8 + 8=200 + 80+8=288 \). Теперь найдем разность: \[ N - M=882 - 288=594, \] что совпадает с условием. --- ### Итог: Задуманное число — **882**. --- **Ответ:** \(\boxed{882}\)