Давайте подробно решим задачу о поиске оптимальной производственной программы для максимизации прибыли. Для этого применим линейное программирование.
Шаг 1: Обозначения и исходные данные
Обозначим переменные:
- ( x_A ) — количество продукции А в натуральных единицах,
- ( x_B ) — количество продукции Б,
- ( x_V ) — количество продукции В,
- ( x_D ) — количество продукции Д.
Дано:
| Показатель |
Продукт А |
Продукт Б |
Продукт В |
Продукт Д |
| Цена (руб.) |
120 |
200 |
350 |
260 |
| Переменные расходы (руб.) |
66 |
104 |
267 |
150 |
| Время на единицу (ч/шт) |
20 |
40 |
50 |
30 |
| Емкость рынка (шт) |
250 |
150 |
900 |
3000 |
Постоянные расходы: 15 000 рублей (учитываются при вычислении прибыли).
Объем ресурсов:
- Максимальные машино-часы: 50 000 ч.
Шаг 2: Построение функции прибыли
Прибыль на единицу продукции:
[
\text{Прибыль} = \text{Цена} - \text{Переменные расходы}
]
Рассмотрим:
| Продукт |
Прибыль на единицу |
| А |
(120 - 66 = 54) руб. |
| Б |
(200 - 104 = 96) руб. |
| В |
(350 - 267 = 83) руб. |
| Д |
(260 - 150 = 110) руб. |
Общая прибыль (без учёта постоянных затрат):
[
\text{Общая прибыль} = 54x_A + 96x_B + 83x_V + 110x_D
]
Поскольку постоянные расходы — 15 000 рублей, итоговая прибыль:
[
Z = 54x_A + 96x_B + 83x_V + 110x_D - 15000
]
Шаг 3: Ограничения
- Емкости рынка (максимальное производство продукции):
[
x_A \le 250 \
x_B \le 150 \
x_V \le 900 \
x_D \le 3000
]
- Временные ограничения: общее время работы не должно превышать 50 000 часов:
[
20x_A + 40x_B + 50x_V + 30x_D \le 50000
]
- Нес отрицательность переменных:
[
x_A, x_B, x_V, x_D \ge 0
]
Шаг 4: Формулировка задачи
[
\text{max } Z = 54x_A + 96x_B + 83x_V + 110x_D - 15000
]
при условиях:
[
\begin{cases}
x_A \le 250 \
x_B \le 150 \
x_V \le 900 \
x_D \le 3000 \
20x_A + 40x_B + 50x_V + 30x_D \le 50000 \
x_A, x_B, x_V, x_D \ge 0
\end{cases}
]
Шаг 5: Анализ задачи и поиск решения
Поскольку задача ограничена линейными условиями, для поиска оптимума обычно используют метод тестирования крайних точек (угловых решений) или специализированные методы (симплекс-метод).
Шаг 6: Проверка крайних точек и выбор оптимальной стратегии
Поскольку точных вычислений через симплекс-метод в этом формате сложно выполнить вручную, сделаем логический анализ:
Максимизируем прибыль, выбирая продукты с наибольшей прибыльностью на единицу продукции — Д (110 руб.).
Производить максимальное количество продукции Д до достижения ограничения по объему рынка или машино-часам.
Шаг 7: Расчет по продукции Д:
- По рынку: до 3000 единиц,
- По времени: (30 \times 3000 = 90000) машино-часов, что превышает лимит (50 000 ч). Значит, максимум по Д — ограничение по времени.
Д:
[
x_D = \frac{50000}{30} \approx 1666.67
]
Но по рынку и нереально производить дробное число, потому выберем максимально допустимое целое — 1666 шт.
Шаг 8: Остаток времени и далее
Время, занимаемое производством Д:
[
1666 \times 30 = 49980 \text{ часов}
]
Остается свободное время:
[
50000 - 49980 = 20 \text{ часов}
]
Используемское время для оставшихся продуктов:
Посмотрим, какой продукт может быть произведен с учетом закрепленного времени, чтобы дополнительно увеличить прибыль.
Проверим продукты с меньшим временем на единицу:
- А: 20 ч. — можем сделать максимум 1 шт. (так как осталось 20 часов).
- Б: 40 ч., не можем.
- В: 50 ч., не можем.
Производим 1 шт. продукции А:
Обновляем показатели:
[
x_A = 1, \quad x_D = 1666, \quad x_B = 0, \quad x_V = 0
]
Общая прибыль:
[
\text{прибыль} = (54 \times 1) + (96 \times 0) + (83 \times 0) + (110 \times 1666) - 15000
]
[
= 54 + 0 + 0 + (110 \times 1666) - 15000
]
[
= 54 + 183,260 - 15,000 = 168,314 \text{ рублей}
]
Ответ:
Оптимальная производственная программа:
- ( x_A = 1 )
- ( x_B = 0 )
- ( x_V = 0 )
- ( x_D = 1666 )
Максимальная возможная прибыль:
[
\boxed{168,314 \text{ рублей}}
]
Если нужно более точное решение или учесть дополнительное ограничение, можно воспользоваться симплекс-методом или графическим методом при необходимости.
