Давайте подробно решим задачу, чтобы понять, как найти собственную скорость катера.
Обозначения:
- ( v ) — собственная скорость катера (то, что нужно найти)
- ( u = 5 ; \text{км/ч} ) — скорость течения реки
- Первый участок пути (по течению): 32 км
- Второй участок пути (против течения): 24 км
- Общее время: 4 часа
Шаг 1: Запишем выражения для времени на каждом участке
По течению:
Скорость катера вместе с течением: ( v + u )
Время на первый участок: ( t_1 = \frac{32}{v + u} )
Против течения:
Скорость катера против течения: ( v - u )
Время на второй участок: ( t_2 = \frac{24}{v - u} )
Общее время:
[ t_1 + t_2 = 4 , \text{ч} ]
Подставим выражения:
[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 ]
Шаг 2: Решим уравнение
Запишем уравнение:
[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 ]
Домножим обе части уравнения на дробь, чтобы избавиться от дробей. Для этого умножим на общий знаменатель: ((v + 5)(v - 5)).
Получим:
[ 32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v + 5)(v - 5) ]
Раскроем скобки:
[ 32v - 160 + 24v + 120 = 4(v^2 - 25) ]
Объединим подобные члены слева:
[ (32v + 24v) + (-160 + 120) = 4v^2 - 100 ]
[ 56v - 40 = 4v^2 - 100 ]
Перенесем все в одну сторону:
[ 4v^2 - 56v + (-100 + 40) = 0 ]
[ 4v^2 - 56v - 60 = 0 ]
Разделим уравнение на 4:
[ v^2 - 14v - 15 = 0 ]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Квадратное уравнение:
[ v^2 - 14v - 15 = 0 ]
Используем формулу корней:
[ v = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} ]
Посчитаем дискриминант:
[ D = 196 + 60 = 256 ]
Корень из дискриминанта:
[ \sqrt{256} = 16 ]
Найти корни:
[ v = \frac{14 \pm 16}{2} ]
Варианты:
- ( v = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 )
- ( v = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 )
Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем только положительный ответ:
[ v = 15 ; \text{км/ч} ]
Ответ:
Собственная скорость катера равна 15 км/ч.
