Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5…

Давайте подробно решим задачу, чтобы понять, как найти собственную скорость катера.

Обозначения:

• \( v \) — собственная скорость катера (то, что нужно найти)
• \( u = 5 \; \text{км/ч} \) — скорость течения реки
• Первый участок пути (по течению): 32 км
• Второй участок пути (против течения): 24 км
• Общее время: 4 часа

Шаг 1: Запишем выражения для времени на каждом участке

По течению:
Скорость катера вместе с течением: \( v + u \)
Время на первый участок: \( t_1 = \frac{32}{v + u} \)

Против течения:
Скорость катера против течения: \( v - u \)
Время на второй участок: \( t_2 = \frac{24}{v - u} \)

Общее время:
\[ t_1 + t_2 = 4 \, \text{ч} \]

Подставим выражения:
\[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 \]

Шаг 2: Решим уравнение

Запишем уравнение:
\[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 \]

Домножим обе части уравнения на дробь, чтобы избавиться от дробей. Для этого умножим на общий знаменатель: \((v + 5)(v - 5)\).

Получим:
\[ 32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v + 5)(v - 5) \]

Раскроем скобки:
\[ 32v - 160 + 24v + 120 = 4(v^2 - 25) \]

Объединим подобные члены слева:
\[ (32v + 24v) + (-160 + 120) = 4v^2 - 100 \]

\[ 56v - 40 = 4v^2 - 100 \]

Перенесем все в одну сторону:
\[ 4v^2 - 56v + (-100 + 40) = 0 \]

\[ 4v^2 - 56v - 60 = 0 \]

Разделим уравнение на 4:
\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Квадратное уравнение:
\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Используем формулу корней:
\[ v = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} \]

Посчитаем дискриминант:
\[ D = 196 + 60 = 256 \]

Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{256} = 16 \]

Найти корни:
\[ v = \frac{14 \pm 16}{2} \]

Варианты:

• \( v = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
• \( v = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем только положительный ответ:

\[ v = 15 \; \text{км/ч} \]

Ответ:

Собственная скорость катера равна 15 км/ч.