?

Давайте решим задачу по шагам.

Задача: Найти значение выражения \((6 - t)^2 - (t - 7)(t + 7)\), при \(t = \frac{7}{12}\).

Шаг 1. Подставляем значение \( t = \frac{7}{12} \) в выражение.

Выразим полностью:
\[ (6 - t)^2 - (t - 7)(t + 7) \]

Шаг 2. Вычисляем каждый из элементов по отдельности.

2.1. Вычислим \(6 - t\):

\[ 6 - \frac{7}{12} = \frac{72}{12} - \frac{7}{12} = \frac{65}{12} \]

2.2. Возводим \(6 - t\) в квадрат:

\[ \left(\frac{65}{12}\right)^2 = \frac{65^2}{12^2} = \frac{4225}{144} \]

Шаг 3. Вычисляем что такое \((t - 7)(t + 7)\).

Это разностное произведение:

\[ (t)^2 - 7^2 \]

по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

\[ t^2 - 49 \]

Подставляем \( t = \frac{7}{12} \):

\[ t^2 = \left(\frac{7}{12}\right)^2 = \frac{49}{144} \]

и тогда:

\[ (t - 7)(t + 7) = t^2 - 49 = \frac{49}{144} - 49 \]

Переведём 49 в дробь с знаменателем 144:

\[ 49 = \frac{49 \times 144}{144} = \frac{7056}{144} \]

Следовательно:

\[ t^2 - 49 = \frac{49}{144} - \frac{7056}{144} = \frac{49 - 7056}{144} = -\frac{7007}{144} \]

Шаг 4. Собираем всё вместе:

Итак, исходное выражение:

\[ (6 - t)^2 - (t - 7)(t + 7) = \frac{4225}{144} - \left(-\frac{7007}{144}\right) \]

Есть минус перед скобками, поэтому:

\[ = \frac{4225}{144} + \frac{7007}{144} = \frac{4225 + 7007}{144} = \frac{11232}{144} \]

Упрощаем дробь:

\[ \frac{11232}{144} = \frac{11232 ÷ 144}{144 ÷ 144} = \frac{78}{1} = 78 \]

Ответ:

\[ \boxed{78} \]

Значение выражения при \( t = \frac{7}{12} \) равно 78.