?

Давайте разберем задачу по шагам:

Дано:

• Внешний угол при вершине \( B \) треугольника \( ABC \) равен 102°.
• Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) пересекаются в точке \( O \).

Задача:

• Найти величину угла \( \angle AOC \).
• Ответ записать в целом числе или десятичной дроби.

Шаг 1. Определение известных данных и условий

• Вынесена формулировка о внешнем угле при вершине \( B \): \(\angle ABC = 102^\circ\).
• В треугольнике сумма внутренних углов равна \( 180^\circ \).

Обозначим углы треугольника \( ABC \):

\[ \angle A = \alpha, \quad \angle B = \beta, \quad \angle C = \gamma \] и \[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \] но \( \beta \) нам не нужен, так как у нас есть только внешняя величина.

Шаг 2. Связь внешнего угла и внутренних

Внешний угол при вершине \( B \) равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов:

\[ \angle ABC (внешний) = \alpha + \gamma \]

По условию, он равен 102°:

\[ \alpha + \gamma = 102^\circ \]

Также известно, что сумма всех углов треугольника равна 180°, поэтому:

\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]

Подставляя \( \alpha + \gamma = 102^\circ \), получим:

\[ 102^\circ + \beta = 180^\circ \] \[ \beta = 78^\circ \]

Это внутренний угол при вершине \( B \).

Шаг 3. Рассмотрение биссектрис углов \( A \) и \( C \)

Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) встречаются в точке \( O \). В этом случае, точка \( O \) — внутренний точка пересечения биссектрис, которая делит противоположные стороны пропорционально прилегающим сторонам.

Важно знать, что:

• угол между биссектрисами \( \angle AOC \) — это искомый угол.
• Биссектрисы делят углы \( A \) и \( C \) пополам.

Шаг 4. Использование свойства о большем углу

Теоретически, угол \( \angle AOC \) связан с углами внутри треугольника через свойства биссектрис и внутренние углы.

Можно применить следующую формулу:

\[ \angle AOC = 180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2} \]

Это основано на свойствах биссектрис и внутреннего треугольника (выводится из теоремы о внутреннем угле, делённом биссектрисой, и мнимого "угла между биссектрисами").

Подставляя значение \( \alpha + \gamma = 102^\circ \):

\[ \angle AOC = 180^\circ - \frac{102^\circ}{2} = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{129} \]

Угол \( \angle AOC \) равен 129 градусам.