?

Давайте разберем задачу по шагам: **Дано:** - Внешний угол при вершине \( B \) треугольника \( ABC \) равен 102°. - Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) пересекаются в точке \( O \). **Задача:** - Найти величину угла \( \angle AOC \). - Ответ записать в целом числе или десятичной дроби. --- ### Шаг 1. Определение известных данных и условий - Вынесена формулировка о внешнем угле при вершине \( B \): \(\angle ABC = 102^\circ\). - В треугольнике сумма внутренних углов равна \( 180^\circ \). Обозначим углы треугольника \( ABC \): \[ \angle A = \alpha, \quad \angle B = \beta, \quad \angle C = \gamma \] и \[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \] но \( \beta \) нам не нужен, так как у нас есть только внешняя величина. --- ### Шаг 2. Связь внешнего угла и внутренних Внешний угол при вершине \( B \) равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов: \[ \angle ABC (внешний) = \alpha + \gamma \] По условию, он равен 102°: \[ \alpha + \gamma = 102^\circ \] Также известно, что сумма всех углов треугольника равна 180°, поэтому: \[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \] Подставляя \( \alpha + \gamma = 102^\circ \), получим: \[ 102^\circ + \beta = 180^\circ \] \[ \beta = 78^\circ \] Это внутренний угол при вершине \( B \). --- ### Шаг 3. Рассмотрение биссектрис углов \( A \) и \( C \) Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) встречаются в точке \( O \). В этом случае, точка \( O \) — внутренний точка пересечения биссектрис, которая делит противоположные стороны пропорционально прилегающим сторонам. Важно знать, что: - угол между биссектрисами \( \angle AOC \) — это искомый угол. - Биссектрисы делят углы \( A \) и \( C \) пополам. --- ### Шаг 4. Использование свойства о большем углу Теоретически, угол \( \angle AOC \) связан с углами внутри треугольника через свойства биссектрис и внутренние углы. Можно применить следующую формулу: \[ \angle AOC = 180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2} \] Это основано на свойствах биссектрис и внутреннего треугольника (выводится из теоремы о внутреннем угле, делённом биссектрисой, и мнимого "угла между биссектрисами"). Подставляя значение \( \alpha + \gamma = 102^\circ \): \[ \angle AOC = 180^\circ - \frac{102^\circ}{2} = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{129} \] Угол \( \angle AOC \) равен **129 градусам**.