Решите уравнение

Давайте подробно решим уравнение: \[ \frac{4}{x^2 - 6x + 9} - \frac{6}{x^2 - 9} = \frac{1}{x+3} \] **Шаг 1: упростим знаменатели** - Заметим, что в первых двух дробях есть выражения, которые можно преобразовать: \[ x^2 - 6x + 9 \quad \text{и} \quad x^2 - 9 \] - Эти выражения — квадраты разностей и разности квадратов. \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \] \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \] Значит, уравнение переписывается как: \[ \frac{4}{(x - 3)^2} - \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3} \] --- **Шаг 2: Обозначим общий знаменатель** Общий знаменатель будет: \[ (x - 3)^2 (x + 3) \] Перепишем каждое слагаемое с этим знаменателем: - Первая дробь: numerator оставляем, знаменатель умножим на \((x + 3)\): \[ \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{4(x + 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} \] - Вторая дробь: знаменатель \((x - 3)(x + 3)\), умножим числитель и знаменатель на \((x - 3)\): \[ \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{6(x - 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} \] - Третья дробь: \[ \frac{1}{x + 3} = \frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)^2} \] Но чтобы привести к общему знаменателю, умножим и числитель, и знаменатель на \((x - 3)^2\): \[ \frac{1}{x + 3} = \frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)^2} \] --- **Шаг 3: Запишем уравнение с общим знаменателем** Все дроби имеют знаменатель \((x - 3)^2 (x + 3)\), запишем: \[ \frac{4(x + 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} - \frac{6(x - 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} = \frac{(x - 3)^2}{(x - 3)^2 (x + 3)} \] Теперь умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей: \[ 4(x + 3) - 6(x - 3) = (x - 3)^2 \] --- **Шаг 4: Раскроем скобки** Левая часть: \[ 4x + 12 - 6x + 18 = (x - 3)^2 \] Объединим похожие слагаемые: \[ (4x - 6x) + (12 + 18) = (x - 3)^2 \] \[ -2x + 30 = (x - 3)^2 \] Правая часть: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] Итак, получаем уравнение: \[ -2x + 30 = x^2 - 6x + 9 \] --- **Шаг 5: перенесем все слагаемые в одну сторону** \[ 0 = x^2 - 6x + 9 + 2x - 30 \] Объединим: \[ 0 = x^2 - 4x - 21 \] Это квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x - 21 = 0 \] --- **Шаг 6: решим квадратное уравнение** Используем формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-4\), \(c=-21\): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 10}{2} \] Получаем два корня: 1. \(x = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\) 2. \(x = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) --- **Шаг 7: Проверим найденные решения на исключения** - При \(x = -3\): Вернемся к исходное уравнению и проверим, не делаем ли мы деление на ноль: Обрати внимание, что в исходных дробях знаменатели содержат \((x + 3)\) и \((x - 3)^2\). - При \(x = -3\): \[ x + 3 = 0 \] Значит, дробь \(\frac{1}{x+3}\) не определена, и решение **недопустимо**. - При \(x = 7\): Проверим, что в исходных дробях не происходит деления на ноль: \[ x - 3 = 4 \neq 0 \] \[ x + 3 = 10 \neq 0 \] Значит, \(x=7\) — допустимое решение. --- ****Ответ:**** \[ \boxed{ \text{Допустимый корень: } x = 7 } \] Решение: **x = 7**.