Решите уравнение
Давайте подробно решим уравнение:
\[ \frac{4}{x^2 - 6x + 9} - \frac{6}{x^2 - 9} = \frac{1}{x+3} \]
Шаг 1: упростим знаменатели
- Заметим, что в первых двух дробях есть выражения, которые можно преобразовать:
\[ x^2 - 6x + 9 \quad \text{и} \quad x^2 - 9 \]
- Эти выражения — квадраты разностей и разности квадратов.
\[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \] \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Значит, уравнение переписывается как:
\[ \frac{4}{(x - 3)^2} - \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3} \]
Шаг 2: Обозначим общий знаменатель
Общий знаменатель будет:
\[ (x - 3)^2 (x + 3) \]
Перепишем каждое слагаемое с этим знаменателем:
- Первая дробь: numerator оставляем, знаменатель умножим на \((x + 3)\):
\[ \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{4(x + 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} \]
- Вторая дробь: знаменатель \((x - 3)(x + 3)\), умножим числитель и знаменатель на \((x - 3)\):
\[ \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{6(x - 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} \]
- Третья дробь:
\[ \frac{1}{x + 3} = \frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)^2} \]
Но чтобы привести к общему знаменателю, умножим и числитель, и знаменатель на \((x - 3)^2\):
\[ \frac{1}{x + 3} = \frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)^2} \]
Шаг 3: Запишем уравнение с общим знаменателем
Все дроби имеют знаменатель \((x - 3)^2 (x + 3)\), запишем:
\[ \frac{4(x + 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} - \frac{6(x - 3)}{(x - 3)^2 (x + 3)} = \frac{(x - 3)^2}{(x - 3)^2 (x + 3)} \]
Теперь умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4(x + 3) - 6(x - 3) = (x - 3)^2 \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Левая часть:
\[ 4x + 12 - 6x + 18 = (x - 3)^2 \]
Объединим похожие слагаемые:
\[ (4x - 6x) + (12 + 18) = (x - 3)^2 \] \[ -2x + 30 = (x - 3)^2 \]
Правая часть:
\[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
Итак, получаем уравнение:
\[ -2x + 30 = x^2 - 6x + 9 \]
Шаг 5: перенесем все слагаемые в одну сторону
\[ 0 = x^2 - 6x + 9 + 2x - 30 \]
Объединим:
\[ 0 = x^2 - 4x - 21 \]
Это квадратное уравнение:
\[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]
Шаг 6: решим квадратное уравнение
Используем формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=1\), \(b=-4\), \(c=-21\):
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2} \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 10}{2} \]
Получаем два корня:
- \(x = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
- \(x = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Шаг 7: Проверим найденные решения на исключения
- При \(x = -3\):
Вернемся к исходное уравнению и проверим, не делаем ли мы деление на ноль:
Обрати внимание, что в исходных дробях знаменатели содержат \((x + 3)\) и \((x - 3)^2\).
- При \(x = -3\):
\[ x + 3 = 0 \]
Значит, дробь \(\frac{1}{x+3}\) не определена, и решение недопустимо.
- При \(x = 7\):
Проверим, что в исходных дробях не происходит деления на ноль:
\[ x - 3 = 4 \neq 0 \] \[ x + 3 = 10 \neq 0 \]
Значит, \(x=7\) — допустимое решение.
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Допустимый корень: } x = 7 } \]
Решение: x = 7.
