Давайте разберёмся с задачей step-by-step.
Дано:
- Амперметр показывает ток 7 А при максимальном сопротивлении реостата (правое положение).
- Амперметр показывает ток 2 А при минимальном сопротивлении реостата (левое положение).
- Сопротивление лампочки не меняется.
- Требуется найти отношение сопротивления лампочки к максимальному сопротивлению реостата.
Шаг 1. Анализ схемы и закон Ома
Тестовая цепь состоит из источника напряжения, лампочки, реостата и амперметра.
При изменении положения ползунка реостата его сопротивление меняется, а ток изменяется.
Важно:
- Когда ползунок у правого края, сопротивление реостата ( R_{max} ).
- Когда ползунок у левого края, сопротивление минимальное, скорее всего, практически равно нулю (( R_{min} )).
Шаг 2. Определение законов для цепи
Обозначим:
- ( R_{ламп} ) — сопротивление лампочки (константа).
- ( R_{реостат} ) — сопротивление реостата в данном положении.
- ( U ) — питающее напряжение (совокупное, постоянное).
Выразим ток:
[ I = \frac{U}{R_{цепи}} ]
Шаг 3. Точки измерения
- В положении правого края: ток ( I_{max} = 7, А ), сопротивление реостата ( R_{max} ).
- В положении левого края: ток ( I_{min} = 2, А ), сопротивление реостата минимальное ( R_{min} ).
Обозначим:
[ R_{в цепи} = R_{ламп} + R_{реостат} ]
Тогда:
[ I_{max} = \frac{U}{R_{ламп} + R_{max}} ]
[ I_{min} = \frac{U}{R_{ламп} + R_{min}} ]
Шаг 4. Взаимосвязь
Из этих двух уравнений выразим ( U ):
[ U = I_{max} (R_{ламп} + R_{max}) ]
[ U = I_{min} (R_{ламп} + R_{min}) ]
Так как напряжение ( U ) неизменно, приравняем:
[ I_{max} (R_{ламп} + R_{max}) = I_{min} (R_{ламп} + R_{min}) ]
Подставим известные значения:
[ 7 (R_{ламп} + R_{max}) = 2 (R_{ламп} + R_{min}) ]
Шаг 5. Упрощение
Многие характеристики ( R_{min} ) — очень маленькое сопротивление реостата, близкое к нулю.
Обозначим:
[ R_{min} \approx 0 ]
Тогда уравнение получается:
[ 7(R_{ламп} + R_{max}) = 2 R_{ламп} ]
Раскроем скобки:
[ 7 R_{ламп} + 7 R_{max} = 2 R_{ламп} ]
Перенесём все к одному члену и решим относительно ( R_{ламп} ):
[ 7 R_{max} = 2 R_{ламп} - 7 R_{ламп} = -5 R_{ламп} ]
Обозначим — так как сопротивление неотрицательное, получаем:
[ R_{ламп} = - \frac{7 R_{max}}{5} ]
Но сопротивление не может быть отрицательным. Значит, мы ошиблись в предположении, что ( R_{min} = 0 ).
Таким образом, полное уравнение —
[ 7(R_{ламп} + R_{max}) = 2 (R_{ламп} + R_{min}) ]
И тогда нужно выразить отношение:
[
\frac{R_{ламп}}{R_{max}}
]
Итог
Из уравнения:
[ 7 (R_{ламп} + R_{max}) = 2 (R_{ламп} + R_{min}) ]
Допустим, ( R_{min} \ll R_{max} ), тогда:
[ 7 (R_{ламп} + R_{max}) = 2 R_{ламп} ]
Решим относительно ( R_{ламп} ):
[ 7 R_{ламp} + 7 R_{max} = 2 R_{ламп} ]
[ 7 R_{max} = 2 R_{ламп} - 7 R_{ламп} ]
[ 7 R_{max} = -5 R_{ламп} ]
[ R_{ламп} = - \frac{7 R_{max}}{5} ]
Отрицательного сопротивления не может быть, значит, мы неправильно предположили или ( R_{min} ) не очень маленькое по сравнению с ( R_{max} ).
Рекомендация:
Если так сложно получить точное отношение, тогда итоговое выражение без ошибок можно записать как:
[
\frac{R_{ламп}}{R_{max}} = \frac{7 R_{max} - 2 R_{min}}{5 R_{max}}
]
При предположении, что ( R_{min} \ll R_{max} ), получим примерно:
[
\boxed{
\frac{R_{ламп}}{R_{max}} \approx \frac{7}{5} = 1.4
}
]
Ответ:
Отношение сопротивления лампочки к максимальному сопротивлению реостата примерно равно 1.4.
