Давайте рассмотрим данную задачу внимательно и пошагово.
Дано:
- Вероятность того, что за год перегорит хотя бы одна лампочка:
[
P(\text{перегорит хотя бы одна}) = 0,96
]
- Вероятность того, что перегорит больше трёх лампочек:
[
P(\text{перегорит больше трёх}) = 0,87
]
Нас просят найти вероятность того, что за год перегорит одна, две или три лампочка:
[
P(1 \leq k \leq 3)
]
Шаг 1: Определение вероятности перегоревших лампочек
Обозначим:
- (A_k) — событие, что перегорело ровно (k) лампочек.
Тогда:
[
P(\text{перегорит хотя бы одна}) = P(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)
]
Аналогично:
[
P(\text{перегорит больше трёх}) = P(\bigcup_{k=4}^\infty A_k)
]
Так как сумма вероятностей всех возможных случаев равна 1:
[
\sum_{k=0}^\infty P(A_k) = 1
]
Шаг 2: Связь с дополнением
- Вероятность, что ни одна лампочка не перегорит за год (то есть (A_0)):
[
P(A_0) = 1 - P(\text{перегорит хотя бы одна}) = 1 - 0,96 = 0,04
]
- Вероятность, что перегорит больше трёх лампочек:
[
P(k \geq 4) = 0,87
]
Обратим внимание, что:
[
P(k \geq 4) = \sum_{k=4}^\infty P(A_k)
]
А вероятность того, что перегорит от 1 до 3, то есть (P(1 \leq k \leq 3)), равна:
[
P(1 \leq k \leq 3) = 1 - P(A_0) - P(k \geq 4)
]
Подставим те значения:
[
P(1 \leq k \leq 3) = 1 - 0,04 - 0,87 = 1 - 0,91 = 0,09
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Вероятность того, что перегорит одна, две или три лампочка:} \quad \boxed{0,09}
}
]
Если есть еще вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!
