Давайте по шагам решим задачу и найдём координаты точки пересечения отрезка AB и луча DC.
Шаг 1. Запишем координаты точек
- ( A(-3, 7) )
- ( B(6, -2) )
- ( C(7, 3) )
- ( D(-3, -2) )
Шаг 2. Найдём уравнение отрезка AB
Шаг 2.1: Вычислим вектор (\vec{AB}):
[
\Delta x_{AB} = x_B - x_A = 6 - (-3) = 9
]
[
\Delta y_{AB} = y_B - y_A = -2 - 7 = -9
]
Шаг 2.2: Уравнение прямой, проходящей через A и B:
Общее уравнение:
[
\frac{x - x_A}{\Delta x_{AB}} = \frac{y - y_A}{\Delta y_{AB}}
]
Подставляем:
[
\frac{x + 3}{9} = \frac{y - 7}{-9}
]
или умножим обе части на 9:
[
x + 3 = - (y - 7)
]
Раскроем скобки:
[
x + 3 = - y + 7
]
Переносим все члены:
[
x + y = 4
]
Это уравнение прямой, содержащей отрезок AB, а именно:
[
\boxed{ x + y = 4 }
]
Шаг 3. Найдём уравнение луча DC
Шаг 3.1: Вектор (\vec{DC}):
[
\Delta x_{DC} = x_C - x_D = 7 - (-3) = 10
]
[
\Delta y_{DC} = y_C - y_D = 3 - (-2) = 5
]
ваша луч идёт от точки D в сторону точки C.
Шаг 3.2: Общее уравнение луча DC:
Параметрически:
[
x = x_D + t \cdot \Delta x_{DC} = -3 + 10t
]
[
y = y_D + t \cdot \Delta y_{DC} = -2 + 5t
]
где ( t \geq 0 ), так как это луч — не бесконечная линия, а только одна её часть, начинается в D и идут в сторону C.
Шаг 4. Найдём точку пересечения
Точка пересечения удовлетворяет системам уравнений:
[
x + y = 4
]
[
x = -3 + 10t
]
[
y = -2 + 5t
]
Подставим ( x ) и ( y ):
[
(-3 + 10t) + (-2 + 5t) = 4
]
Объединим подобные члены:
[
-3 - 2 + 10t + 5t = 4
]
[
-5 + 15t = 4
]
Перенесем число:
[
15t = 9
]
Решим относительно ( t ):
[
t = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6
]
Так как ( t = 0.6 \geq 0 ), то точка действительно находится на луче DC.
Шаг 5. Найдём координаты точки пересечения
Подставим ( t = 0.6 ):
[
x = -3 + 10 \times 0.6 = -3 + 6 = 3
]
[
y = -2 + 5 \times 0.6 = -2 + 3 = 1
]
Ответ:
Координаты точки пересечения отрезка AB и луча DC:
[
\boxed{(3, 1)}
]
Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
