остройте на координатной плоскости точки A, B, C, D, если A(-3; 7), B(6;-2), C(7;3); D(-3; -2), определите координату точки пересечения отрезка AB и луча DC.
Давайте по шагам решим задачу и найдём координаты точки пересечения отрезка AB и луча DC.
Шаг 1. Запишем координаты точек
- \( A(-3, 7) \)
- \( B(6, -2) \)
- \( C(7, 3) \)
- \( D(-3, -2) \)
Шаг 2. Найдём уравнение отрезка AB
Шаг 2.1: Вычислим вектор \(\vec{AB}\):
\[ \Delta x_{AB} = x_B - x_A = 6 - (-3) = 9 \] \[ \Delta y_{AB} = y_B - y_A = -2 - 7 = -9 \]
Шаг 2.2: Уравнение прямой, проходящей через A и B:
Общее уравнение:
\[ \frac{x - x_A}{\Delta x_{AB}} = \frac{y - y_A}{\Delta y_{AB}} \]
Подставляем:
\[ \frac{x + 3}{9} = \frac{y - 7}{-9} \]
или умножим обе части на 9:
\[ x + 3 = - (y - 7) \]
Раскроем скобки:
\[ x + 3 = - y + 7 \]
Переносим все члены:
\[ x + y = 4 \]
Это уравнение прямой, содержащей отрезок AB, а именно:
\[ \boxed{ x + y = 4 } \]
Шаг 3. Найдём уравнение луча DC
Шаг 3.1: Вектор \(\vec{DC}\):
\[ \Delta x_{DC} = x_C - x_D = 7 - (-3) = 10 \] \[ \Delta y_{DC} = y_C - y_D = 3 - (-2) = 5 \]
ваша луч идёт от точки D в сторону точки C.
Шаг 3.2: Общее уравнение луча DC:
Параметрически:
\[ x = x_D + t \cdot \Delta x_{DC} = -3 + 10t \] \[ y = y_D + t \cdot \Delta y_{DC} = -2 + 5t \]
где \( t \geq 0 \), так как это луч — не бесконечная линия, а только одна её часть, начинается в D и идут в сторону C.
Шаг 4. Найдём точку пересечения
Точка пересечения удовлетворяет системам уравнений:
\[ x + y = 4 \] \[ x = -3 + 10t \] \[ y = -2 + 5t \]
Подставим \( x \) и \( y \):
\[ (-3 + 10t) + (-2 + 5t) = 4 \]
Объединим подобные члены:
\[ -3 - 2 + 10t + 5t = 4 \] \[ -5 + 15t = 4 \]
Перенесем число:
\[ 15t = 9 \]
Решим относительно \( t \):
\[ t = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 \]
Так как \( t = 0.6 \geq 0 \), то точка действительно находится на луче DC.
Шаг 5. Найдём координаты точки пересечения
Подставим \( t = 0.6 \):
\[ x = -3 + 10 \times 0.6 = -3 + 6 = 3 \] \[ y = -2 + 5 \times 0.6 = -2 + 3 = 1 \]
Ответ:
Координаты точки пересечения отрезка AB и луча DC:
\[ \boxed{(3, 1)} \]
Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
