В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если его периметр треугольника равен 30 см

Давайте пошагово решим задачу. **Дано:** - Вписанная окружность касается гипотенузы, деля её на отрезки: 3 см и 10 см. - Периметр треугольника: \( P = 30 \) см. - Треугольник прямоугольный. **Найти:** радиус вписанной окружности \( r \). --- ### Шаг 1. Обозначения и начальные сведения Обозначим: - Обозначим гипотенузу как \( c \). - Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Так как точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см, то: \[ c = 3 + 10 = 13 \text{ см}. \] --- ### Шаг 2. Связь между точкой касания и сторонами треугольника Вписанная окружность касается всех сторон, и касания с гипотенузой делят её на отрезки, равные частям, связанным со сторонами: - Если точка касания с гипотенузой делит её на два отрезка, то эти отрезки равны \( c_1 = 3 \) и \( c_2 = 10 \). Из свойств вписанной окружности: - Расстояния от вершины прямо пропорциональны соответствующим частям гипотенузы, и для прямоугольного треугольника есть известная формула: \[ \text{Длина от вершины \( A \) до точки касания} = s - a, \] где \( s \) — полупериметр. В нашем случае с гипотенузой, касание разбивает гипотенузу на отрезки, равные: \[ \text{отрезок} = s - a \quad \text{или} \quad s - b, \] но поскольку основные свойства связаны прямо с точками касания, много легче использовать известные формулы. --- ### Шаг 3. Формулы для сторон и периметра Полупериметр треугольника: \[ s = \frac{a + b + c}{2}. \] Известный факт: в прямоугольном треугольнике касание вписанной окружности с гипотенузой делит гипотенузу на отрезки: \[ c_1 = s - a, \quad c_2 = s - b, \] при этом: \[ c_1 + c_2 = c, \] что соответствует: \[ (s - a) + (s - b) = c, \] или \[ 2s - (a + b) = c, \] но поскольку \( 2s = a + b + c \), данное равенство выполняется автоматически. Также, из свойств вписанной окружности в прямоугольнике: \[ c_1 = s - a, \quad c_2 = s - b, \] и \[ c_1 = 3, \] \[ c_2 = 10, \] следовательно, \[ s - a = 3, \] \[ s - b = 10. \] Отсюда: \[ a = s - 3, \] \[ b = s - 10. \] --- ### Шаг 4. Использование периметра Зная, что \( c = 13 \), и \( a = s - 3 \), \( b = s - 10 \): \[ a + b + c = 2s, \] подставим: \[ (s - 3) + (s - 10) + 13 = 2s, \] \[ 2s - 13 + 13 = 2s, \] \[ 2s = 2s, \] что — верное равенство, значит, параметры связаны правильно. Теперь выразим \( a \) и \( b \): \[ a = s - 3, \] \[ b = s - 10. \] Истинно также, что \( a \) и \( b \) — катеты, и они должны удовлетворять теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 169. \] Подставим \( a \) и \( b \): \[ (s - 3)^2 + (s - 10)^2 = 169. \] Раскроем скобки: \[ (s^2 - 6s + 9) + (s^2 - 20s + 100) = 169, \] \[ 2s^2 - 26s + 109 = 169, \] \[ 2s^2 - 26s + 109 - 169 = 0, \] \[ 2s^2 - 26s - 60 = 0. \] Разделим на 2: \[ s^2 - 13s - 30 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ s = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \times 1 \times (-30)}}{2}. \] Вычисляем дискриминант: \[ \Delta = 169 + 120 = 289, \] \[ \sqrt{\Delta} = 17. \] Тогда: \[ s = \frac{13 \pm 17}{2}. \] Выбираем положительные решения: - При \( s = \frac{13 + 17}{2} = \frac{30}{2} = 15 \), - при \( s = \frac{13 - 17}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) (некорректно, так как полупериметр не может быть отрицательным). Значит: \[ s = 15 \text{ см}. \] Теперь найдём стороны: \[ a = s - 3 = 15 - 3 = 12, \] \[ b = s - 10 = 15 - 10 = 5, \] и гипотенуза: \[ c = 13 \text{ см}, \quad \text{как было задано}. \] Проверка по теореме Пифагора: \[ 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2, \] всё верно. --- ### Шаг 5. Нахождение радиуса вписанной окружности \( r \) Радиус \( r \) вписанной окружности вычисляется по формуле: \[ r = \frac{S}{s}, \] где \( S \) — площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \text{ см}^2. \] Столько равно: \[ r = \frac{S}{s} = \frac{30}{15} = 2 \text{ см}. \] --- ## **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Радиус вписанной окружности } r = 2 \text{ см}. } \]