В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если его периметр треугольника равен 30 см
Давайте пошагово решим задачу.
Дано:
- Вписанная окружность касается гипотенузы, деля её на отрезки: 3 см и 10 см.
- Периметр треугольника: \( P = 30 \) см.
- Треугольник прямоугольный.
Найти: радиус вписанной окружности \( r \).
Шаг 1. Обозначения и начальные сведения
Обозначим:
- Обозначим гипотенузу как \( c \).
- Обозначим катеты как \( a \) и \( b \).
Так как точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см, то:
\[ c = 3 + 10 = 13 \text{ см}. \]
Шаг 2. Связь между точкой касания и сторонами треугольника
Вписанная окружность касается всех сторон, и касания с гипотенузой делят её на отрезки, равные частям, связанным со сторонами:
- Если точка касания с гипотенузой делит её на два отрезка, то эти отрезки равны \( c_1 = 3 \) и \( c_2 = 10 \).
Из свойств вписанной окружности:
- Расстояния от вершины прямо пропорциональны соответствующим частям гипотенузы, и для прямоугольного треугольника есть известная формула:
\[ \text{Длина от вершины \( A \) до точки касания} = s - a, \] где \( s \) — полупериметр.
В нашем случае с гипотенузой, касание разбивает гипотенузу на отрезки, равные:
\[ \text{отрезок} = s - a \quad \text{или} \quad s - b, \] но поскольку основные свойства связаны прямо с точками касания, много легче использовать известные формулы.
Шаг 3. Формулы для сторон и периметра
Полупериметр треугольника:
\[ s = \frac{a + b + c}{2}. \]
Известный факт: в прямоугольном треугольнике касание вписанной окружности с гипотенузой делит гипотенузу на отрезки:
\[ c_1 = s - a, \quad c_2 = s - b, \] при этом:
\[ c_1 + c_2 = c, \] что соответствует:
\[ (s - a) + (s - b) = c, \] или
\[ 2s - (a + b) = c, \] но поскольку \( 2s = a + b + c \), данное равенство выполняется автоматически.
Также, из свойств вписанной окружности в прямоугольнике:
\[ c_1 = s - a, \quad c_2 = s - b, \] и
\[ c_1 = 3, \] \[ c_2 = 10, \] следовательно,
\[ s - a = 3, \] \[ s - b = 10. \]
Отсюда:
\[ a = s - 3, \] \[ b = s - 10. \]
Шаг 4. Использование периметра
Зная, что \( c = 13 \), и \( a = s - 3 \), \( b = s - 10 \):
\[ a + b + c = 2s, \] подставим:
\[ (s - 3) + (s - 10) + 13 = 2s, \] \[ 2s - 13 + 13 = 2s, \] \[ 2s = 2s, \] что — верное равенство, значит, параметры связаны правильно.
Теперь выразим \( a \) и \( b \):
\[ a = s - 3, \] \[ b = s - 10. \]
Истинно также, что \( a \) и \( b \) — катеты, и они должны удовлетворять теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 169. \]
Подставим \( a \) и \( b \):
\[ (s - 3)^2 + (s - 10)^2 = 169. \]
Раскроем скобки:
\[ (s^2 - 6s + 9) + (s^2 - 20s + 100) = 169, \] \[ 2s^2 - 26s + 109 = 169, \] \[ 2s^2 - 26s + 109 - 169 = 0, \] \[ 2s^2 - 26s - 60 = 0. \]
Разделим на 2:
\[ s^2 - 13s - 30 = 0. \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ s = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \times 1 \times (-30)}}{2}. \]
Вычисляем дискриминант:
\[ \Delta = 169 + 120 = 289, \] \[ \sqrt{\Delta} = 17. \]
Тогда:
\[ s = \frac{13 \pm 17}{2}. \]
Выбираем положительные решения:
- При \( s = \frac{13 + 17}{2} = \frac{30}{2} = 15 \),
- при \( s = \frac{13 - 17}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) (некорректно, так как полупериметр не может быть отрицательным).
Значит:
\[ s = 15 \text{ см}. \]
Теперь найдём стороны:
\[ a = s - 3 = 15 - 3 = 12, \] \[ b = s - 10 = 15 - 10 = 5, \] и гипотенуза:
\[ c = 13 \text{ см}, \quad \text{как было задано}. \]
Проверка по теореме Пифагора:
\[ 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2, \] всё верно.
Шаг 5. Нахождение радиуса вписанной окружности \( r \)
Радиус \( r \) вписанной окружности вычисляется по формуле:
\[ r = \frac{S}{s}, \] где \( S \) — площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \text{ см}^2. \]
Столько равно:
\[ r = \frac{S}{s} = \frac{30}{15} = 2 \text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Радиус вписанной окружности } r = 2 \text{ см}. } \]
