Катер за 3 часа по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько…
Катер за 3 часа по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения.
Давайте разберемся с условием задачи поэтапно и найдем необходимые величины — скорость течения и собственную скорость катера.
Обозначения:
- \(v\) — собственная скорость катера (в км/ч)
- \(t\) — скорость течения (в км/ч)
Дано:
- За 3 часа по течению и за 5 часов против течения катер проходит 76 км.
- За 6 часов по течению катер проходит столько же, сколько за 9 часов против течения.
Переменные:
- По течению: скорость = \(v + t\)
- Против течения: скорость = \(v - t\)
Шаг 1: Запишем уравнения, основанные на движении
По условию, за 3 часа по течению и за 5 часов против течения вместе пройдено 76 км:
\[ 3(v + t) + 5(v - t) = 76 \]
Также, за 6 часов по течению и за 9 часов против течения пройдено одинаковое расстояние:
\[ 6(v + t) = 9(v - t) \]
Шаг 2: Упростим второе уравнение
Разделим обе части на 3:
\[ 2(v + t) = 3(v - t) \]
Раскроем скобки:
\[ 2v + 2t = 3v - 3t \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 2v + 2t - 3v + 3t = 0 \]
Совместим подобные:
\[ - v + 5t = 0 \]
Отсюда выразим собственную скорость \(v\):
\[ v = 5t \]
Шаг 3: Подставим выражение \(v = 5t\) в первое уравнение
Подставим в уравнение:
\[ 3(v + t) + 5(v - t) = 76 \]
Получим:
\[ 3(5t + t) + 5(5t - t) = 76 \]
Раскроем скобки:
\[ 3(6t) + 5(4t) = 76 \]
Выполним умножение:
\[ 18t + 20t = 76 \]
Объединим подобные:
\[ 38t = 76 \]
Найдём \(t\):
\[ t = \frac{76}{38} = 2 \]
Шаг 4: Найдём собственную скорость \(v\)
Так как \(v = 5t\):
\[ v = 5 \times 2 = 10 \, \text{км/ч} \]
Итог:
- Скорость течения: \(\boxed{2\, \text{км/ч}}\)
- Собственная скорость катера: \(\boxed{10\, \text{км/ч}}\)
Если остались вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайся!
