решите неравенство -3x²+4x+4>0
Давайте решим неравенство \(-3x^2 + 4x + 4 > 0\), и я подробно объясню каждый шаг.
Шаг 1: Записать неравенство
\[ -3x^2 + 4x + 4 > 0 \]
Шаг 2: Упростить неравенство
Для удобства решения вынесем знак перед квадратным выражением, чтобы сделать первый коэффициент положительным. Для этого домножим всё неравенство на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\[ (-1) \times (-3x^2 + 4x + 4) < 0 \]
Получим:
\[ 3x^2 - 4x - 4 < 0 \]
Теперь решим это неравенство.
Шаг 3: Найти корни уравнения \(3x^2 - 4x - 4 = 0\)
Чтобы найти промежутки, где выражение меньше нуля, сначала найдём его корни.
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где
- \(a = 3\),
- \(b = -4\),
- \(c = -4\).
Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 3 \times (-4)}}{2 \times 3} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - (-48)}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} \]
Корень из 64 — это 8:
\[ x = \frac{4 \pm 8}{6} \]
Найдем оба корня:
- \(x_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\),
- \(x_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\).
Шаг 4: Анализировать знак выражения \(3x^2 - 4x - 4\)
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен (\(a=3 > 0\)), парабола открыта вверх.
Корни: \(-\frac{2}{3}\) и \(2\).
Значит, выражение:
- меньше нуля (отрицательно) на промежутке между корнями,
- и больше нуля за пределами этого промежутка.
Следовательно,
\[ 3x^2 - 4x - 4 < 0 \quad \text{при} \quad -\frac{2}{3} < x < 2. \]
Шаг 5: Вернуть исходное неравенство
Помня, что мы умножили неравенство на \(-1\), делая его противоположным, получаем:
\[ -3x^2 + 4x + 4 > 0 \]
будет выполнено там, где:
\[ 3x^2 - 4x - 4 < 0 \]
то есть, при
\[ -\frac{2}{3} < x < 2. \]
Ответ:
\[ \boxed{ x \in \left( -\frac{2}{3}, \; 2 \right) } \]
Это — множество решений исходного неравенства.
Если возникнут дополнительные вопросы, я с радостью помогу!
