Катя и Даша решили сыграть в дартс. У них есть 17 дротиков. Они играют по следующим правилам: если кто-то попадает в центр мишени, то больше не бросает дротики, а если…
Катя и Даша решили сыграть в дартс. У них есть 17 дротиков. Они играют по следующим правилам: если кто-то попадает в центр мишени, то больше не бросает дротики, а если промахивается, то продолжает кидать дротики, которые у неё остались. Выиграет та, которая быстрее попадёт в цель. Построй дерево этого случайного опыта. Найди вероятность события «Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков», если она попадает в центр с вероятностью 0,5 при каждом выстреле.
Давайте подробно разберём эту задачу и построим дерево опыта, а также посчитаем вероятность события.
Условия задачи:
- В игре участвуют Катя и Даша.
- В наличии 17 дротиков.
- Правила:
- Если кто-то попадает в центр — игра для этого игрока заканчивается (он побеждает).
- Если промахивается — он продолжает бросать оставшиеся дротики.
- Цель — рассчитать вероятность того, что Даше для поражения центра мишени потребуется не более 3 дротиков.
- Вероятность попадания в центр при каждом броске: \( p = 0.5 \).
Шаг 1. Построение дерева опыта
Так как задача касается только Даши, рассмотрим её последовательность бросков.
Обозначим:
- У каждого броска есть два исхода:
- Попадание (У) с вероятностью 0,5.
- Промах (П) с вероятностью 0,5.
Для Даши:
- Она делает первый бросок.
- Если попадает — игра заканчивается (Даша выиграла).
- Если промахивается — она продолжает бросать, пока либо не попадёт, либо не исчерпает 3 попытки.
Шаг 2. Определение интересующего события
Нам нужно найти вероятность, что Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков.
Это означает:
- Либо она попадает с 1-го броска,
- либо на 2-м,
- либо на 3-м.
Потому что при промахе на предыдущих бросках она продолжает, и если она попала в любой из первых трёх — условие выполняется.
Иначе говоря, событие: "Даша попадает в центр с 1-й, 2-й или 3-й попытки".
Шаг 3. Вычисление вероятности
Обозначим:
- \( A_1 \) — событие, что Даша попала в первый бросок,
- \( A_2 \) — событие, что Даша промахнулась в первый, а во второй — попала,
- \( A_3 \) — событие, что промахнулись в 1-й и 2-й, а в 3-й — попала.
Тогда вероятность события — сумма вероятностей этих трёх случаев.
Шаг 4. Расчёт вероятностей
- \( P(A_1) = p = 0.5 \)
- \( P(A_2) = (1 - p) \times p = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \)
- \( P(A_3) = (1 - p)^2 \times p = 0.5^2 \times 0.5 = 0.25 \times 0.5 = 0.125 \)
Общая вероятность:
\[ P(\text{Даша попала не позднее 3-го дротика}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875 \]
Ответ:
Вероятность того, что Даше для поражения центра мишени потребуется не более 3 дротиков, равна \(\boxed{0.875}\) или 87.5%.
