Катя и Даша решили сыграть в дартс. У них есть 17 дротиков. Они играют по следующим правилам: если кто-то попадает в центр мишени, то больше не бросает дротики, а если промахивается, то продолжает кидать дротики, которые у неё остались. Выиграет та, которая быстрее попадёт в цель. Построй дерево этого случайного опыта. Найди вероятность события «Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков», если она попадает в центр с вероятностью 0,5 при каждом выстреле.

Давайте подробно разберём эту задачу и построим дерево опыта, а также посчитаем вероятность события. ### Условия задачи: - В игре участвуют Катя и Даша. - В наличии 17 дротиков. - Правила: - Если кто-то попадает в центр — игра для этого игрока заканчивается (он побеждает). - Если промахивается — он продолжает бросать оставшиеся дротики. - Цель — рассчитать вероятность того, что Даше для поражения центра мишени потребуется **не более 3 дротиков**. - Вероятность попадания в центр при каждом броске: \( p = 0.5 \). --- ### Шаг 1. Построение дерева опыта Так как задача касается только Даши, рассмотрим её последовательность бросков. **Обозначим:** - У каждого броска есть два исхода: - **Попадание (У)** с вероятностью 0,5. - **Промах (П)** с вероятностью 0,5. **Для Даши:** 1. Она делает первый бросок. 2. Если попадает — игра заканчивается (Даша выиграла). 3. Если промахивается — она продолжает бросать, пока либо не попадёт, либо не исчерпает 3 попытки. --- ### Шаг 2. Определение интересующего события Нам нужно найти вероятность, что **Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков**. Это означает: - Либо она попадает с 1-го броска, - либо на 2-м, - либо на 3-м. Потому что при промахе на предыдущих бросках она продолжает, и если она попала в любой из первых трёх — условие выполняется. **Иначе говоря, событие: "Даша попадает в центр с 1-й, 2-й или 3-й попытки".** --- ### Шаг 3. Вычисление вероятности Обозначим: - \( A_1 \) — событие, что Даша попала в первый бросок, - \( A_2 \) — событие, что Даша промахнулась в первый, а во второй — попала, - \( A_3 \) — событие, что промахнулись в 1-й и 2-й, а в 3-й — попала. Тогда вероятность события — сумма вероятностей этих трёх случаев. --- ### Шаг 4. Расчёт вероятностей - \( P(A_1) = p = 0.5 \) - \( P(A_2) = (1 - p) \times p = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \) - \( P(A_3) = (1 - p)^2 \times p = 0.5^2 \times 0.5 = 0.25 \times 0.5 = 0.125 \) Общая вероятность: \[ P(\text{Даша попала не позднее 3-го дротика}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875 \] --- ### **Ответ:** **Вероятность того, что Даше для поражения центра мишени потребуется не более 3 дротиков, равна \(\boxed{0.875}\) или 87.5%.**