Построй график функции  y = x 2 + x − 2 ∣ x + 1 ∣ + 2 y=x 2 +x−2∣x+1∣+2. Определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно три общие точки. Если значений  m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Давайте разберем данную задачу по шагам. Задача: Построить график функции: \[ y = x^2 + x - 2|x+1| + 2 \] и определить для каких значений \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно три точки пересечения с графиком функции. --- ### Шаг 1: Разобьём функцию по значению выражения внутри модуля \( |x+1| \) Величина внутри модуля меняется при \( x = -1 \), поэтому разбассируем функцию на две части: - **Для \( x \geq -1 \):** \( |x+1| = x+1 \) - **Для \( x < -1 \):** \( |x+1| = -(x+1) = -x -1 \) --- ### Шаг 2: Запишем функцию по частям **Для \( x \geq -1 \):** \[ y = x^2 + x - 2(x+1) + 2 = x^2 + x - 2x - 2 + 2 = x^2 - x \] **Для \( x < -1 \):** \[ y = x^2 + x - 2(-x - 1) + 2 = x^2 + x + 2x + 2 + 2 = x^2 + 3x + 4 \] --- ### Шаг 3: Построим графики двух частей - **Для \( x \geq -1 \):** \( y = x^2 - x \) - **Для \( x < -1 \):** \( y = x^2 + 3x + 4 \) Это две квадратичные функции, одна "прямая" для \( x \geq -1 \) и другая для \( x < -1 \). --- ### Шаг 4: Найдём точки пересечения графика с линией \( y = m \) Нам нужно найти такие \( m \), при которых у линии \( y = m \) будет ровно **три** точка пересечения с графиком. Рассмотрим два случая: --- ### Шаг 5: Анализ пересечений с линией \( y = m \) **(а) Для \( x \geq -1 \):** \[ x^2 - x = m \] или \[ x^2 - x - m = 0 \] **(б) Для \( x < -1 \):** \[ x^2 + 3x + 4 = m \] или \[ x^2 + 3x + (4 - m) = 0 \] --- ### Шаг 6: Количество решений уравнений Чтобы у линии \( y=m \) было ровно **три** точка пересечения, возможны два варианта: - Одна часть функции пересекает линию один раз, а другая — дважды. - И наоборот, или обе — по одному и по двум, всего — три. Поскольку квадратичные уравнения могут иметь 0, 1 или 2 решения, только комбинации — один из уравнений имеет 1 решение (когда дискриминант равен 0), а другой — 2 решения — удовлетворяют условию ровно 3 пересечений. --- ### Шаг 7: Анализ уравнений Рассмотрим два уравнения: 1. \( x^2 - x - m = 0 \), дискриминант: \[ D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 1 + 4m \] Для решения: - \( D_1 > 0 \) — два решения - \( D_1 = 0 \) — одно решение - \( D_1 < 0 \) — решений нет 2. \( x^2 + 3x + (4 - m) = 0 \), дискриминант: \[ D_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - m) = 9 - 16 + 4m = -7 + 4m \] --- ### Шаг 8: Условия для ровно 3 решений Чтобы было ровно три точки пересечения, возможны ситуации: - **Случай 1:** у первого уравнения одно решение (\( D_1 = 0 \)), а у второго — два решений (\( D_2 > 0 \)) - **Случай 2:** у первого уравнения — два решения (\( D_1 > 0 \)), а у второго — одно решение (\( D_2 = 0 \)) --- ### Шаг 9: Решаем случаи **Случай 1: \( D_1 = 0 \), \( D_2 > 0 \)** - \( D_1 = 0 \Rightarrow 1 + 4m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{4} \) - \( D_2 > 0 \Rightarrow -7 + 4m > 0 \Rightarrow 4m > 7 \Rightarrow m > \frac{7}{4} \) Но \( m = -\frac{1}{4} \neq m > \frac{7}{4} \), значит этот случай невозможен. --- **Случай 2: \( D_1 > 0 \) и \( D_2 = 0 \)** - \( D_1 > 0 \Rightarrow 1 + 4m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{4} \) - \( D_2 = 0 \Rightarrow -7 + 4m = 0 \Rightarrow 4m = 7 \Rightarrow m = \frac{7}{4} \) Итак, \( m = \frac{7}{4} \), при этом \( m = \frac{7}{4} > -\frac{1}{4} \), условие выполняется. --- ### Шаг 10: Итоговые значения \( m \) - \( m = \frac{7}{4} \) — это значение, при котором у линии \( y = m \) ровно три пересечения с графиком функции. --- ### **Ответ:** \(\boxed{\frac{7}{4}}\) --- Если нужно, я могу подготовить чертежи или более подробное графическое описание, чтобы лучше понять расположение точек пересечения.