Построй график функции y = x 2 + x − 2 ∣ x + 1 ∣ + 2 y=x 2 +x−2∣x+1∣+2 . Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно три общие точки. Если значений m…

Давайте разберем данную задачу по шагам.

Задача: Построить график функции: \[ y = x^2 + x - 2|x+1| + 2 \] и определить для каких значений \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно три точки пересечения с графиком функции.

---

Шаг 1: Разобьём функцию по значению выражения внутри модуля \( |x+1| \)

Величина внутри модуля меняется при \( x = -1 \), поэтому разбассируем функцию на две части:

• Для \( x \geq -1 \): \( |x+1| = x+1 \)
• Для \( x < -1 \): \( |x+1| = -(x+1) = -x -1 \)

---

Шаг 2: Запишем функцию по частям

Для \( x \geq -1 \): \[ y = x^2 + x - 2(x+1) + 2 = x^2 + x - 2x - 2 + 2 = x^2 - x \]

Для \( x < -1 \): \[ y = x^2 + x - 2(-x - 1) + 2 = x^2 + x + 2x + 2 + 2 = x^2 + 3x + 4 \]

---

Шаг 3: Построим графики двух частей

• Для \( x \geq -1 \): \( y = x^2 - x \)
• Для \( x < -1 \): \( y = x^2 + 3x + 4 \)

Это две квадратичные функции, одна "прямая" для \( x \geq -1 \) и другая для \( x < -1 \).

---

Шаг 4: Найдём точки пересечения графика с линией \( y = m \)

Нам нужно найти такие \( m \), при которых у линии \( y = m \) будет ровно три точка пересечения с графиком.

Рассмотрим два случая:

---

Шаг 5: Анализ пересечений с линией \( y = m \)

(а) Для \( x \geq -1 \): \[ x^2 - x = m \] или \[ x^2 - x - m = 0 \]

(б) Для \( x < -1 \): \[ x^2 + 3x + 4 = m \] или \[ x^2 + 3x + (4 - m) = 0 \]

---

Шаг 6: Количество решений уравнений

Чтобы у линии \( y=m \) было ровно три точка пересечения, возможны два варианта:

• Одна часть функции пересекает линию один раз, а другая — дважды.
• И наоборот, или обе — по одному и по двум, всего — три.

Поскольку квадратичные уравнения могут иметь 0, 1 или 2 решения, только комбинации — один из уравнений имеет 1 решение (когда дискриминант равен 0), а другой — 2 решения — удовлетворяют условию ровно 3 пересечений.

---

Шаг 7: Анализ уравнений

Рассмотрим два уравнения:

1. \( x^2 - x - m = 0 \), дискриминант: \[ D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 1 + 4m \] Для решения:

• \( D_1 > 0 \) — два решения
• \( D_1 = 0 \) — одно решение
• \( D_1 < 0 \) — решений нет

2. \( x^2 + 3x + (4 - m) = 0 \), дискриминант: \[ D_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - m) = 9 - 16 + 4m = -7 + 4m \]

---

Шаг 8: Условия для ровно 3 решений

Чтобы было ровно три точки пересечения, возможны ситуации:

• Случай 1: у первого уравнения одно решение (\( D_1 = 0 \)), а у второго — два решений (\( D_2 > 0 \))
• Случай 2: у первого уравнения — два решения (\( D_1 > 0 \)), а у второго — одно решение (\( D_2 = 0 \))

---

Шаг 9: Решаем случаи

Случай 1: \( D_1 = 0 \), \( D_2 > 0 \)

• \( D_1 = 0 \Rightarrow 1 + 4m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{4} \)

• \( D_2 > 0 \Rightarrow -7 + 4m > 0 \Rightarrow 4m > 7 \Rightarrow m > \frac{7}{4} \)

Но \( m = -\frac{1}{4} \neq m > \frac{7}{4} \), значит этот случай невозможен.

---

Случай 2: \( D_1 > 0 \) и \( D_2 = 0 \)

• \( D_1 > 0 \Rightarrow 1 + 4m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{4} \)

• \( D_2 = 0 \Rightarrow -7 + 4m = 0 \Rightarrow 4m = 7 \Rightarrow m = \frac{7}{4} \)

Итак, \( m = \frac{7}{4} \), при этом \( m = \frac{7}{4} > -\frac{1}{4} \), условие выполняется.

---

Шаг 10: Итоговые значения \( m \)

• \( m = \frac{7}{4} \) — это значение, при котором у линии \( y = m \) ровно три пересечения с графиком функции.

---

Ответ:

\(\boxed{\frac{7}{4}}\)

---

Если нужно, я могу подготовить чертежи или более подробное графическое описание, чтобы лучше понять расположение точек пересечения.