На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены точки M и N. Известно, что AM:MB = 1:6, а N – середина стороны BC. Найдите площадь треугольника MND, если площадь параллелограмма…

Давайте подробно решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти площадь треугольника MND.

Исходные данные:

• ABCD — параллелограмм,
• M — точка на стороне AB,
• N — середина стороны BC,
• AM : MB = 1 : 6,
• площадь параллелограмма ABCD = 644.

Шаг 1. Вводим условные обозначения и координатную систему.

Пусть параллелограмм ABCD расположен так, чтобы:

• точка A — в начале координат: \(A(0, 0)\),
• сторона AB — по оси x: \(B(x, 0)\),
• сторона AD — по оси y: \(D(0, y)\),
• стороны AB и AD — параллельны и перпендикулярны (возможно, параллелограмм не прямой, но для упрощения предположим прямой параллелограмм), тогда: \[ C(x, y) \] Границы:
• \(A(0, 0)\),
• \(B(x, 0)\),
• \(D(0, y)\),
• \(C(x, y)\).

Площадь параллелограмма: \[ \text{Площадь} = x \times y = 644. \]

Шаг 2. Определяем координаты точек M и N.

• Точка M лежит на AB, делит его в отношении 1:6, то есть: \[ AM : MB = 1:6, \] по длине: \[ AM = \frac{1}{1+6} = \frac{1}{7} \text{ части от } AB. \]

Координаты B: \((x, 0)\), координаты A: \((0, 0)\).

Координаты M: \[ M = \left(\frac{1}{7}x, 0\right). \]

• Точка N — середина стороны BC: Координаты B: \((x, 0)\), Координаты C: \((x, y)\).

Тогда: \[ N = \left(\frac{x + x}{2}, \frac{0 + y}{2}\right) = (x, \frac{y}{2}). \]

Шаг 3. Определяем точку D и ее координаты. \[ D = (0, y). \]

Шаг 4. Находим координаты точки M, N и D:

• \(M \left(\frac{x}{7}, 0\right)\),
• \(N (x, \frac{y}{2})\),
• \(D (0, y)\).

Шаг 5. Вычисляем площадь треугольника MND.

Формула площади по координатам трех точек \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \):

\[ S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|. \]

Подставляем: \[ (x_1, y_1) = \left(\frac{x}{7}, 0\right), \] \[ (x_2, y_2) = (x, \frac{y}{2}), \] \[ (x_3, y_3) = (0, y). \]

Получаем:

\[ S_{MND} = \frac{1}{2} \left| \frac{x}{7} \left(\frac{y}{2} - y \right) + x ( y - 0 ) + 0 \left( 0 - \frac{y}{2} \right) \right|. \]

Раскроем скобки:

\[ = \frac{1}{2} \left| \frac{x}{7} \left( - \frac{y}{2} \right) + x y \right| = \frac{1}{2} \left| - \frac{x y}{14} + x y \right|. \]

Вынесем общий множитель \(x y\):

\[ = \frac{1}{2} | x y \left( - \frac{1}{14} + 1 \right) | = \frac{1}{2} | x y \left( \frac{14}{14} - \frac{1}{14} \right) | = \frac{1}{2} | x y \frac{13}{14} |. \]

Итак, площадь треугольника: \[ S_{MND} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{14} |x y| = \frac{13}{28} |x y| . \]

Так как площадь параллелограмма \(A_{ABCD} = x y = 644\),

следовательно:

\[ S_{MND} = \frac{13}{28} \times 644. \]

Вычисляем:

\[ S_{MND} = \frac{13 \times 644}{28}. \]

Заметим, что:

\[ 28 = 4 \times 7, \] и

\[ 644 \div 4 = 161, \]

тогда:

\[ S_{MND} = \frac{13 \times 161}{7} = \frac{2093}{7}. \]

Делим:

\[ 2093 \div 7 = 299. \]

Итак,

\[ \boxed{ S_{MND} = 299. } \]

Ответ: площадь треугольника MND равна 299.