Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
Радиус вписанной окружности (описанной внутри квадрата) равен 102. Нужно найти радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Шаг 1. Определяем понятия
Вписанная окружность квадрата — это окружность, которая касается всех сторон квадрата внутри него.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:
[
r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}
]
Окружность, описанная вокруг квадрата (описанная окружность) — это окружность, через все четыре вершины квадрата.
Радиус описанной окружности равен радиусу окружности, вписанной в квадрат, который идёт через диагональ квадрата.
Шаг 2. Связи между сторонами квадрата и радиусами
Обозначим:
- ( a ) — сторона квадрата
- ( r_{\text{впис}} = 102 )
Тогда:
[
r_{\text{впис}} = \frac{a}{2} \implies a = 2 \times 102 = 204
]
Шаг 3. Находим радиус окружности, описанной около квадрата
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
[
R = \frac{\text{диагональ}}{2}
]
Диагональ квадрата выражается через сторону:
[
d = a \sqrt{2}
]
Поэтому:
[
R = \frac{a \sqrt{2}}{2}
]
Подставляем значение ( a = 204 ):
[
R = \frac{204 \sqrt{2}}{2} = 102 \sqrt{2}
]
Итог:
[
\boxed{
R = 102 \sqrt{2}
}
]
Это и есть радиус окружности, опи́санной вокруг квадрата.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен ( 102 \sqrt{2} ).
