Радиус вписанной в квадрат окружности равен 102. Найдите радиус окружиости, опи- санной около этого квадрата
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
Радиус вписанной окружности (описанной внутри квадрата) равен 102. Нужно найти радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Шаг 1. Определяем понятия
Вписанная окружность квадрата — это окружность, которая касается всех сторон квадрата внутри него.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:
\[ r_{\text{впис}} = \frac{a}{2} \]Окружность, описанная вокруг квадрата (описанная окружность) — это окружность, через все четыре вершины квадрата.
Радиус описанной окружности равен радиусу окружности, вписанной в квадрат, который идёт через диагональ квадрата.
Шаг 2. Связи между сторонами квадрата и радиусами
Обозначим:
- \( a \) — сторона квадрата
- \( r_{\text{впис}} = 102 \)
Тогда:
\[ r_{\text{впис}} = \frac{a}{2} \implies a = 2 \times 102 = 204 \]
Шаг 3. Находим радиус окружности, описанной около квадрата
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
\[ R = \frac{\text{диагональ}}{2} \]
Диагональ квадрата выражается через сторону:
\[ d = a \sqrt{2} \]
Поэтому:
\[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]
Подставляем значение \( a = 204 \):
\[ R = \frac{204 \sqrt{2}}{2} = 102 \sqrt{2} \]
Итог:
\[ \boxed{ R = 102 \sqrt{2} } \]
Это и есть радиус окружности, опи́санной вокруг квадрата.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \( 102 \sqrt{2} \).
