В четырёхугольник MNKL вписана окружность с центром T. Сумма противоположных сторон равна 273 мм. Найди радиус окружности, если площадь четырёхугольника равна 1,1466 м 2
Давайте разберёмся с задачей пошагово:
Дано:
- В четырёхугольнике MNKL вписана окружность с центром T.
- Сумма противоположных сторон равна 273 мм.
- Площадь четырёхугольника равна 1,1466 м².
Требуется:
Найти радиус окружности, вписанной в четырёхугольник.
Шаг 1: Преобразование единиц измерения
Чтобы работать с одинаковыми единицами, переведём площадь из м² в мм²: \[ 1,1466\, \text{м}^2 = 1,1466 \times 10^{6}\, \text{мм}^2 = 1\,146\,600\, \text{мм}^2 \]
Шаг 2: Свойства вписанного четырёхугольника
Поскольку в четырёхугольник вписана окружность, он является описанным четырёхугольником (обозначим его как цилиндрический). В таком четырёхугольнике сумма противоположных сторон равна, и эта сумма равна 273 мм: \[ AB + CD = BC + AD = 273\, \text{мм} \]
Также, радиус окружности, вписанной в четырёхугольник, связан с его свойствами через формулу для площади: \[ S = r \times p, \] где \( S \) — площадь, \( r \) — радиус вписанной окружности, \( p \) — полупериметр.
Шаг 3: Вычисление полупериметра \( p \)
Обозначим стороны: \[ AB = a,\quad BC = b,\quad CD = c,\quad DA = d \]
Из условия: \[ a + c = b + d = 273\, \text{мм} \]
Общий периметр \( P \): \[ P = a + b + c + d \] Подставим: \[ a + c = 273,\quad b + d = 273 \] Следовательно: \[ P = (a + c) + (b + d) = 273 + 273 = 546\, \text{мм} \] Полупериметр: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{546}{2} = 273\, \text{мм} \]
Шаг 4: Использование формулы площади
Так как четырёхугольник вписан в окружность: \[ S = r \times p \]
Нам дана площадь \( S = 1\,146\,600\, \text{мм}^2 \), а \( p = 273\, \text{мм} \): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{1\,146\,600}{273} \]
Вычислим: \[ r \approx \frac{1\,146\,600}{273} \approx 4200\, \text{мм} \]
или в метрах: \[ r \approx 4200\, \text{мм} = 4,2\, \text{м} \]
Ответ:
Радиус вписанной окружности составляет 4200 мм, или 4,2 метра.
Если потребуется пояснение или уточнение — обращайтесь!
