Найди радиус окружности вписанной в ромб если диагонали ромба равны 21 см и 28 см

Давайте решим задачу пошагово и подробно. **Дано:** - Диагонали ромба: \(d_1 = 21\,\text{см}\), \(d_2 = 28\,\text{см}\). **Найти:** радиус вписанной окружности (\(r\)). --- ### Шаг 1. Свойства ромба и вписанной окружности - Вписанная окружность касается всех сторон ромба. - В ромбе диагонали делят его на 4 равных треугольника. - Вписанная окружность касается каждой стороны, касательные от нее равны. Чтобы найти радиус \(r\), нужно знать площадь ромба и его полему. --- ### Шаг 2. Найдём сторону ромба Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Пусть \(A, B, C, D\) — вершины ромба, а точки пересечения диагоналей — \(O\). Треугольники \(AOB, COB, COD, DOA\) равны, так как все стороны ромба равны. Каждая диагональ делит ромб на 4 прямоугольных треугольника. Пусть \(AB = a\) — сторона ромба. Используем теорему Пифагора для половин диагоналей: \[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \] Подставим значения: \[ \left(\frac{21}{2}\right)^2 + \left(\frac{28}{2}\right)^2 = a^2 \] \[ (10.5)^2 + (14)^2 = a^2 \] \[ 110.25 + 196 = a^2 \] \[ a^2 = 306.25 \] \[ a = \sqrt{306.25} = 17.5\, \text{см} \] Итак, сторона ромба равна 17,5 см. --- ### Шаг 3. Найдём площадь ромба Площадь ромба через диагонали: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] Подставим значения: \[ S = \frac{21 \times 28}{2} = \frac{588}{2} = 294\, \text{см}^2 \] --- ### Шаг 4. Найдём апофаксу ромба Ромб — это равносторонний параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь можно выразить через сторону и высоту: \[ S = a \times h \] Нам нужно найти высоту \(h\): Используем треугольник, образованный половинами диагоналей, например, \(\triangle AOB\). Он прямоугольный: \[ h = \text{высота, опущенная на сторону} \] Но проще — можно найти радиус вписанной окружности через отношение: --- ### Шаг 5. Используем формулу радиуса вписанной окружности Для любой плоской фигуры: \[ r = \frac{S}{P} \] где \(S\) — площадь фигуры, \(P\) — её периметр. Периметр ромба: \[ P = 4a = 4 \times 17.5 = 70\, \text{см} \] Подставляем: \[ r = \frac{294}{70} = 4.2\, \text{см} \] --- ### **Ответ:** Радиус вписанной окружности ромба равен **4,2 см**. --- Если нужно ещё объяснение или дополнительные шаги — скажите!