найди радиус окружности вписанной в ромб если диагонали ромба равны 21 см и 28 см
Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Диагонали ромба: \(d_1 = 21\,\text{см}\), \(d_2 = 28\,\text{см}\).
Найти: радиус вписанной окружности (\(r\)).
Шаг 1. Свойства ромба и вписанной окружности
- Вписанная окружность касается всех сторон ромба.
- В ромбе диагонали делят его на 4 равных треугольника.
- Вписанная окружность касается каждой стороны, касательные от нее равны.
Чтобы найти радиус \(r\), нужно знать площадь ромба и его полему.
Шаг 2. Найдём сторону ромба
Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Пусть \(A, B, C, D\) — вершины ромба, а точки пересечения диагоналей — \(O\).
Треугольники \(AOB, COB, COD, DOA\) равны, так как все стороны ромба равны.
Каждая диагональ делит ромб на 4 прямоугольных треугольника.
Пусть \(AB = a\) — сторона ромба.
Используем теорему Пифагора для половин диагоналей:
\[
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2
\]
Подставим значения:
\[
\left(\frac{21}{2}\right)^2 + \left(\frac{28}{2}\right)^2 = a^2
\]
\[
(10.5)^2 + (14)^2 = a^2
\]
\[
110.25 + 196 = a^2
\]
\[
a^2 = 306.25
\]
\[
a = \sqrt{306.25} = 17.5\, \text{см}
\]
Итак, сторона ромба равна 17,5 см.
Шаг 3. Найдём площадь ромба
Площадь ромба через диагонали:
\[
S = \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]
Подставим значения:
\[
S = \frac{21 \times 28}{2} = \frac{588}{2} = 294\, \text{см}^2
\]
Шаг 4. Найдём апофаксу ромба
Ромб — это равносторонний параллелограмм, у которого все стороны равны.
Площадь можно выразить через сторону и высоту:
\[
S = a \times h
\]
Нам нужно найти высоту \(h\):
Используем треугольник, образованный половинами диагоналей, например, \(\triangle AOB\).
Он прямоугольный:
\[
h = \text{высота, опущенная на сторону}
\]
Но проще — можно найти радиус вписанной окружности через отношение:
Шаг 5. Используем формулу радиуса вписанной окружности
Для любой плоской фигуры:
\[
r = \frac{S}{P}
\]
где \(S\) — площадь фигуры, \(P\) — её периметр.
Периметр ромба:
\[
P = 4a = 4 \times 17.5 = 70\, \text{см}
\]
Подставляем:
\[
r = \frac{294}{70} = 4.2\, \text{см}
\]
Ответ:
Радиус вписанной окружности ромба равен 4,2 см.
Если нужно ещё объяснение или дополнительные шаги — скажите!
