Туристы отправились в путешествие вниз по Волге на теплоходе. Определите, с какой скоростью должен идти теплоход, чтобы на обратный путь (против течения) было затрачено на 1ч…

Рассмотрим задачу поэтапно.

Исходные данные:

• Длина маршрута в одну сторону: \(80 \text{ км}\)
• Скорость течения реки: \(2 \text{ км/ч}\)
• Время обратно на противоположный путь: на 1 час больше, чем по течению.

Обозначим:

• Скорость теплохода по воде (относительно реки): \(v\) км/ч.
• Время движения по течению: \(t_1\).
• Время движения против течения: \(t_2\).

Запишем уравнения времени:

• По течению (со скоростью \(v + 2\)): \[ t_1 = \frac{80}{v + 2} \]

• Против течения (со скоростью \(v - 2\)): \[ t_2 = \frac{80}{v - 2} \]

По условию задачи: \[ t_2 = t_1 + 1 \]

Подставим выражения: \[ \frac{80}{v - 2} = \frac{80}{v + 2} + 1 \]

Решим уравнение:

1. Перенесем \(\frac{80}{v + 2}\) в левую часть: \[ \frac{80}{v - 2} - \frac{80}{v + 2} = 1 \]

2. Обозначим: \[ A = \frac{80}{v - 2}, \quad B = \frac{80}{v + 2} \]

Тогда: \[ A - B = 1 \]

Подставим обратно: \[ \frac{80}{v - 2} - \frac{80}{v + 2} = 1 \]

3. Найдём разность дробей: \[ \frac{80(v + 2) - 80(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 1 \]

4. Раскроем скобки в числителе: \[ 80v + 160 - 80v + 160 = 1 \times (v^2 - 4) \]

Обратите внимание: в числителе: \[ 80v - 80v = 0, \] остаются только: \[ 160 + 160 = 320 \]

Тогда уравнение: \[ \frac{320}{v^2 - 4} = 1 \]

5. Решим уравнение: \[ 320 = v^2 - 4 \] \[ v^2 = 324 \] \[ v = \pm 18 \]

Так как скорость не может быть отрицательной (относительно реки, по условию), выбираем: \[ v = 18 \text{ км/ч} \]

Итог:

Чтобы на обратный путь затрачено было на 1 час больше, скорость теплохода относительно воды должна быть 18 км/ч.