Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой. Каждый площадью 216м². Первый каменщик в день укладывает на 9м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу…

Давайте подробно решим задачу, чтобы понять, как найти ответ.

Обозначения:

• Пусть \( x \) — площадь, которую укладывает в день первый каменщик (в м²).
• Тогда второй каменщик укладывает в день \( x - 9 \) м².
• Общее количество работы каждого каменщика равно \( 216 \) м², так как оба укладывают одинаковое количество плитки на двух участках.

Пусть:

• Время работы первого каменщика — \( t_1 \) дней.
• Время работы второго — \( t_2 \) дней.

Из условия:

• Первый каменщик на укладку участка тратит \( t_1 \) дней.
• Второй — \( t_2 \) дней.
• Также известно, что первый каменщик выполняет работу за 4 дня меньше: \[ t_1 = t_2 - 4 \]

Движемся дальше:

• Площадь, которую укладывает первый каменщик за \( t_1 \) дней: \[ x \times t_1 = 216 \]
• Аналогично для второго: \[ (x - 9) \times t_2 = 216 \]

Из этих уравнений найдем \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ t_1 = \frac{216}{x} \] \[ t_2 = \frac{216}{x - 9} \]

По условию: \[ t_1 = t_2 - 4 \]

Подставляем выражения: \[ \frac{216}{x} = \frac{216}{x - 9} - 4 \]

Теперь решим это уравнение:

1. Перенесем 4 в левую часть: \[ \frac{216}{x} + 4 = \frac{216}{x - 9} \]

2. Объединим левую сторону: \[ \frac{216}{x} + \frac{4x}{x} = \frac{216}{x} \] но лучше оставить как есть по отдельности для объединения:

Напишем левую сторону в общем виде: \[ \frac{216}{x} + 4 = \frac{216}{x - 9} \]

3. Приведем к общему виду: \[ \frac{216}{x} + 4 = \frac{216}{x - 9} \]

4. Можно избавиться от дробей, умножив обе части уравнения на \( x(x - 9) \): \[ 216(x - 9) + 4x(x - 9) = 216x \]

Раскроем скобки: \[ 216x - 1944 + 4x^2 - 36x = 216x \]

Обратим внимание, что слева есть \( 216x \) и справа тоже, что можно сократить: \[ 216x - 1944 + 4x^2 - 36x = 216x \] Вычитая \( 216x \) с обеих сторон: \[ -1944 + 4x^2 - 36x = 0 \]

Это квадратичное уравнение: \[ 4x^2 - 36x - 1944 = 0 \]

Делим всё уравнение на 4: \[ x^2 - 9x - 486 = 0 \]

Решим это уравнение: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \times 1 \times (-486)}}{2} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 1944}}{2} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{2025}}{2} \]

Так как \( \sqrt{2025} = 45 \), получаем два варианта: \[ x = \frac{9 + 45}{2} = \frac{54}{2} = 27 \] или \[ x = \frac{9 - 45}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \]

Площадь не может быть отрицательной, значит: \[ x = 27 \, \text{м}^2 \]

Теперь ответим на вопрос: сколько кв.м плитки укладывает первый каменщик в день?

Ответ: 27 м².