Решить

Хорошо, давай разберёмся вместе! У нас есть куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с рёбрами \( 9 \) см. Нам нужно найти квадрат косинуса угла между диагональю куба и не пересекающей её диагональю основания. Для начала вспомним, что такое диагональ куба. Диагональ куба соединяет противоположные вершины, например \( A \) и \( C_1 \). Диагональ основания - это диагональ, соединяющая противоположные вершины одной грани, например, \( A \) и \( C \), или \( B \) и \( D \). По подсказке, боковое ребро куба перпендикулярно любой прямой в плоскости основания куба. Это значит, что угол между боковым ребром куба (например, \( AA_1 \)) и диагональю основания (например, \( AC \)) является прямым, то есть 90 градусов. Высота куба также равна 9 см. Теперь нам нужно рассмотреть треугольник \( AA_1C \). Угол \( AA_1C \) прямой, значит треугольник прямоугольный. Мы можем найти диагональ основания \( AC \) по теореме Пифагора. Она будет равна \( \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \) см. Таким же способом можно найти диагональ куба \( AC_1 \), которая будет равна \( \sqrt{9^2 + 9^2 + 9^2} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \) см. Теперь мы можем использовать определение косинуса угла между векторами: \( \cos(\alpha) = \frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|} \), где \( A \) и \( B \) - вектора диагонали куба и диагонали основания соответственно. Поскольку угол между диагональю основания и боковым ребром прямой, \( A \cdot B \) будет равно произведению длины бокового ребра (9 см) и длины проекции диагонали куба на плоскость основания, то есть длины диагонали основания \( 9\sqrt{2} \) см. Получаем, что \( A \cdot B = 9 * 9\sqrt{2} = 81\sqrt{2} \). Теперь найдем косинус угла: \( \cos(\alpha) = \frac{81\sqrt{2}}{9\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{3}} = \frac{81\sqrt{2}}{81\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Нам нужен квадрат косинуса, значит: \( (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} \). Ответ: квадрат косинуса угла между диагональю куба и не пересекающей её диагональю основания равен \( \frac{1}{3} \).