Хорошо, давай разберёмся вместе!
У нас есть куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с рёбрами ( 9 ) см. Нам нужно найти квадрат косинуса угла между диагональю куба и не пересекающей её диагональю основания.
Для начала вспомним, что такое диагональ куба. Диагональ куба соединяет противоположные вершины, например ( A ) и ( C_1 ). Диагональ основания - это диагональ, соединяющая противоположные вершины одной грани, например, ( A ) и ( C ), или ( B ) и ( D ).
По подсказке, боковое ребро куба перпендикулярно любой прямой в плоскости основания куба. Это значит, что угол между боковым ребром куба (например, ( AA_1 )) и диагональю основания (например, ( AC )) является прямым, то есть 90 градусов. Высота куба также равна 9 см.
Теперь нам нужно рассмотреть треугольник ( AA_1C ). Угол ( AA_1C ) прямой, значит треугольник прямоугольный. Мы можем найти диагональ основания ( AC ) по теореме Пифагора. Она будет равна ( \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} ) см.
Таким же способом можно найти диагональ куба ( AC_1 ), которая будет равна ( \sqrt{9^2 + 9^2 + 9^2} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} ) см.
Теперь мы можем использовать определение косинуса угла между векторами: ( \cos(\alpha) = \frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|} ), где ( A ) и ( B ) - вектора диагонали куба и диагонали основания соответственно.
Поскольку угол между диагональю основания и боковым ребром прямой, ( A \cdot B ) будет равно произведению длины бокового ребра (9 см) и длины проекции диагонали куба на плоскость основания, то есть длины диагонали основания ( 9\sqrt{2} ) см. Получаем, что ( A \cdot B = 9 * 9\sqrt{2} = 81\sqrt{2} ).
Теперь найдем косинус угла:
( \cos(\alpha) = \frac{81\sqrt{2}}{9\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{3}} = \frac{81\sqrt{2}}{81\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ).
Нам нужен квадрат косинуса, значит:
( (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} ).
Ответ: квадрат косинуса угла между диагональю куба и не пересекающей её диагональю основания равен ( \frac{1}{3} ).
