Рассмотрим задачу: Толя задумал два натуральных числа, обозначим их как (x) и (y).
Из условий задачи:
- Их сумма равна 23:
[
x + y = 23
]
- Их разность по абсолютной величине больше 7 и меньше 11:
[
7 < |x - y| < 11
]
Поскольку они натуральные числа, без ограничения общности предположим, что (x \geq y). Тогда:
[
|x - y| = x - y
]
и условие превращается в:
[
7 < x - y < 11
]
Теперь у нас есть система:
[
x + y = 23 \quad (1)
]
[
7 < x - y < 11 \quad (2)
]
Рассмотрим возможные целые значения для (x - y):
[
x - y \in {8, 9, 10}
]
Проверим каждое значение.
случай 1: (x - y = 8)
Из (x + y = 23) и (x - y = 8):
Сложим эти два уравнения:
[
(x + y) + (x - y) = 23 + 8 \Rightarrow 2x = 31 \Rightarrow x = \frac{31}{2} = 15.5
]
Это не натуральное число, значит вариант исключается.
случай 2: (x - y = 9)
Сложим уравнения:
[
x + y = 23
]
[
x - y = 9
]
Сложим:
[
2x = 32 \Rightarrow x = 16
]
Тогда:
[
y = 23 - x = 23 - 16 = 7
]
Проверим, натуралльность? Да, оба числа натуральные.
Проверим условие разности: (|x - y| = 9), что попадает в диапазон (7 < 9 < 11). Всё верно.
случай 3: (x - y = 10)
Аналогично:
[
x + y = 23
]
[
x - y = 10
]
Сложим:
[
2x = 33 \Rightarrow x = 16.5
]
Не натуральное число — исключается.
Итог:
Единственный подходящий вариант — это:
[
x = 16, \quad y = 7
]
Проверка условий:
- сумма: (16 + 7 = 23) — верно.
- разность: (16 - 7 = 9) — в диапазоне (7 < 9 < 11) — верно.
Ответ:
Задуманные числа: 16 и 7.
Доказательство: других вариантов по условиям задачи не существует, так как только при разности равной 9 получилось натуральное число, и оно удовлетворяет всем условиям.
Если есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить — обращайтесь!
