В классе 24 человека, из них 10 девочек и 14 мальчиков. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что на…

Давайте подробно решим задачу.

Итак, условие:

• Общее число школьников: 24 человека.
• Девочек: 10.
• Мальчиков: 14.
• Они построились в шеренгу в случайном порядке.
• Нужно найти вероятность того, что на концах шеренги стоят школьники одного пола (то есть либо оба девочки, либо оба мальчика).

Шаг 1: Общее число возможных вариантов упорядочивания

Общее число способов расположить всех 24 человек — это перестановки всех учащихся: \[ \text{Общее число} = 24! \]

Шаг 2: Разделим случаи на два варианта:

• Случай 1: на первом и последнем месте стоят девочки.
• Случай 2: на первом и последнем месте стоят мальчики.

Нам нужно найти сумму вероятностей этих двух случаев.

Шаг 3: Посчитаем количество вариантов для каждого случая

Случай 1 — Девочки на концах:

• Выбираем 2 девочек для концов: число способов выбрать 2 девочек из 10: \[ C_10^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \]
• Расположить эти 2 девочек на двух концах шеренги (2 варианта — один на первом месте, другой на последнем, или наоборот). \[ 2 \text{ варианта} \]
• Оставшихся 8 девочек и всех 14 мальчиков — всего 22 человека, которые нужно расположить между концами: \[ 22! \text{ способов (перестановки оставшихся)} \]

Общее число вариантов для случая 1: \[ \text{Число} = C_10^2 \times 2 \times 22! = 45 \times 2 \times 22! = 90 \times 22! \]

Случай 2 — Мальчики на концах:

• Выбираем 2 мальчиков из 14: \[ C_{14}^2 = \frac{14 \times 13}{2} = 91 \]
• Расположить их на концах (2 варианта): \[ 2 \]
• Между концами остаётся:
  • 10 девочек и 12 мальчиков (всего 22 человека), которых можно расположить по любому порядку: \[ 22! \text{ способов} \]

Общее число вариантов для случая 2: \[ C_{14}^2 \times 2 \times 22! = 91 \times 2 \times 22! = 182 \times 22! \]

Шаг 4: Общее число благоприятных случаев

Общая сумма благоприятных случаев: \[ \text{Общее} = (90 \times 22!) + (182 \times 22!) = (90 + 182) \times 22! = 272 \times 22! \]

Шаг 5: Найдём вероятность

Вероятность равна отношению благоприятных случаев к общему числу вариантов: \[ \text{Вероятность} = \frac{272 \times 22!}{24!} \]

Теперь упростим это выражение:

\[ 24! = 24 \times 23 \times 22! \]

Поэтому: \[ \text{Вероятность} = \frac{272 \times 22!}{24 \times 23 \times 22!} = \frac{272}{24 \times 23} \]

Вычислим знаменатель: \[ 24 \times 23 = 552 \]

Следовательно: \[ \boxed{ \text{Вероятность} = \frac{272}{552} = \frac{68}{138} = \frac{34}{69} } \]

Ответ:

Вероятность того, что на концах шеренги будут стоять школьники одного пола, равна \(\frac{34}{69}\).