Давайте подробно решим задачу.
Итак, условие:
- Общее число школьников: 24 человека.
- Девочек: 10.
- Мальчиков: 14.
- Они построились в шеренгу в случайном порядке.
- Нужно найти вероятность того, что на концах шеренги стоят школьники одного пола (то есть либо оба девочки, либо оба мальчика).
Шаг 1: Общее число возможных вариантов упорядочивания
Общее число способов расположить всех 24 человек — это перестановки всех учащихся:
[
\text{Общее число} = 24!
]
Шаг 2: Разделим случаи на два варианта:
- Случай 1: на первом и последнем месте стоят девочки.
- Случай 2: на первом и последнем месте стоят мальчики.
Нам нужно найти сумму вероятностей этих двух случаев.
Шаг 3: Посчитаем количество вариантов для каждого случая
Случай 1 — Девочки на концах:
- Выбираем 2 девочек для концов: число способов выбрать 2 девочек из 10:
[
C_10^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45
]
- Расположить эти 2 девочек на двух концах шеренги (2 варианта — один на первом месте, другой на последнем, или наоборот).
[
2 \text{ варианта}
]
- Оставшихся 8 девочек и всех 14 мальчиков — всего 22 человека, которые нужно расположить между концами:
[
22! \text{ способов (перестановки оставшихся)}
]
Общее число вариантов для случая 1:
[
\text{Число} = C_10^2 \times 2 \times 22! = 45 \times 2 \times 22! = 90 \times 22!
]
Случай 2 — Мальчики на концах:
- Выбираем 2 мальчиков из 14:
[
C_{14}^2 = \frac{14 \times 13}{2} = 91
]
- Расположить их на концах (2 варианта):
[
2
]
- Между концами остаётся:
- 10 девочек и 12 мальчиков (всего 22 человека), которых можно расположить по любому порядку:
[
22! \text{ способов}
]
Общее число вариантов для случая 2:
[
C_{14}^2 \times 2 \times 22! = 91 \times 2 \times 22! = 182 \times 22!
]
Шаг 4: Общее число благоприятных случаев
Общая сумма благоприятных случаев:
[
\text{Общее} = (90 \times 22!) + (182 \times 22!) = (90 + 182) \times 22! = 272 \times 22!
]
Шаг 5: Найдём вероятность
Вероятность равна отношению благоприятных случаев к общему числу вариантов:
[
\text{Вероятность} = \frac{272 \times 22!}{24!}
]
Теперь упростим это выражение:
[
24! = 24 \times 23 \times 22!
]
Поэтому:
[
\text{Вероятность} = \frac{272 \times 22!}{24 \times 23 \times 22!} = \frac{272}{24 \times 23}
]
Вычислим знаменатель:
[
24 \times 23 = 552
]
Следовательно:
[
\boxed{
\text{Вероятность} = \frac{272}{552} = \frac{68}{138} = \frac{34}{69}
}
]
Ответ:
Вероятность того, что на концах шеренги будут стоять школьники одного пола, равна (\frac{34}{69}).
