Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события «при одном из бросков выпало 4 очка».
Давайте решим задачу подробно и с объяснениями.
Задача:
Два раза бросают симметричный кубик. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Нужно найти вероятность того, что при одном из бросков выпало 4 очка.
Шаг 1. Обозначения и возможные исходы
- Каждое бросание кубика дает число от 1 до 6 (выбрасывает равновероятно).
- Обозначим результаты двух бросков: первый бросок — \(A\), второй — \(B\).
Множество всех исходов:
\[
\Omega = \{(a, b) \mid a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}
\]
Общее число исходов:
\[
|\Omega| = 6 \times 6 = 36
\]
Шаг 2. Условие и искомое событие
Нам дана информация: сумма очков больше 8.
Это условие:
\[
A + B > 8
\]
И требуется найти вероятность:
"при одном из бросков выпало 4"
то есть:
\[
P \text{(один из бросков равен 4 | сумма > 8)}
\]
Это событие можно разбить на две части:
- A: один из бросков равен 4
- B: другой из бросков равен 4
Искомая вероятность:
\[
P(\text{при одном из бросков равен 4} \mid A + B > 8)
\]
или точнее:
\[
P(\text{есть хотя бы один 4, и сумма > 8})
\]
Шаг 3. Найти все исходы, при которых сумма > 8
Рассмотрим все возможные пары \((a, b)\) и выберем те, у которых сумма больше 8:
Сумма больше 8: 9, 10, 11, 12.
Перебираем:
Сумма = 9:
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)Сумма = 10:
(4,6), (5,5), (6,4)Сумма = 11:
(5,6), (6,5)Сумма = 12:
(6,6)
Общее число исходов с суммой > 8:
\[
4 + 3 + 2 + 1 = 10
\]
Шаг 4. Выделить исходы, где есть хотя бы один 4
Теперь найдем среди перечисленных исходов те, где хотя бы один из бросков равен 4:
Для суммы = 9:
(4,5), (5,4)Сумма = 10:
(4,6)Сумма = 11:
(5,6), (6,5) — не содержат 4, исключаемСумма = 12:
(6,6) — исключаем
Итого, исходы с суммой > 8 и с хотя бы одним 4:
\[
\{(4,5), (5,4), (4,6)\}
\]
Итого: 3 исхода.
Шаг 5. Найти все исходы, где при одном из бросков выпало 4
Теперь уточним:
"при одном из бросков выпало 4" — то есть, один из результатов равен 4, а другой — не равен 4.
В исходах, где оба 4, это (4,4), — но сумма равна 8, а условие — сумма > 8, значит, этот исход не входит в объем выборки.
Из перечисленных выше исходов с одним 4: (4,5) и (5,4)
Дополнительных исходов с одним 4, у которых сумма > 8, нет.
Шаг 6. Найти условную вероятность
Общее число исходов, при которых сумма > 8, равно 10.
Общее число исходов, при которых есть хотя бы один 4, а сумма > 8, равно 3 — это все перечисленные выше.
Важно: из них условие "при одном из бросков выпало 4" — означает, что хотя бы один из бросков равен 4.
Из этих 3 исходов — два (4,5) и (5,4) — удовлетворяют этому условию. Третий (4,6) тоже содержит 4.
Но, смотрите, всё равно мы рассматриваем именно случаи, при которых хотя бы один 4.
В итоге:
- Число исходов, при которых сумма > 8 и есть хотя бы один 4: 3.
- Число исходов, при которых сумма > 8 и при одном из бросков выпало 4: тоже 3 (так как все три, перечисленные выше, включают хотя бы один 4).
Итог:
\[ \boxed{ P = \frac{\text{число подходящих исходов (сумма > 8 и есть хотя бы один 4)}}{\text{число исходов при сумме > 8}} = \frac{3}{10} } \]
Ответ:
Вероятность того, что при одном из бросков выпало 4, при условии, что сумма больше 8, равна \(\frac{3}{10}\).
Если нужно более краткое объяснение или разбор, могу помочь дополнительно!
