надо выбрать из предложенных варианта ответа

Давайте подробно разберем задачу.

Нам даны два точки на окружности:

• \( A(-12, 15) \)
• \( B(4, 9) \)

и необходимо найти уравнение этой окружности.

Шаг 1: Найдем центр окружности \( (x_0, y_0) \).

Центром окружности, проходящей через две точки, является середина отрезка \( AB \).

• Координаты точки \( A \): \( (-12, 15) \)
• Координаты точки \( B \): \( (4, 9) \)

Формулы для середины отрезка:

\[ x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \[ y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Так что центр окружности: \( (-4, 12) \).

Шаг 2: Найдем радиус \( R \), который равен расстоянию от центра до любой из точек \( A \) или \( B \).

Используем формулу расстояния:

\[ R = \sqrt{(x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2} \]

Подставим значения:

\[ R = \sqrt{(-12 + 4)^2 + (15 - 12)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

Итак, радиус \(\ R = \sqrt{73} \).

Шаг 3: Записываем уравнение окружности.

Общая форма уравнения окружности с центром \( (x_0, y_0) \) и радиусом \( R \):

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \]

Подставляем найденные значения:

\[ (x + 4)^2 + (y - 12)^2 = 73 \]

Шаг 4: Раскроем скобки, чтобы получить уравнение в стандартной форме:

\[ (x + 4)^2 + (y - 12)^2 = 73 \] \[ x^2 + 8x + 16 + y^2 - 24y + 144 = 73 \] \[ x^2 + y^2 + 8x - 24y + (16 + 144) = 73 \] \[ x^2 + y^2 + 8x - 24y + 160 = 73 \]

Вынесем 73 в левую сторону:

\[ x^2 + y^2 + 8x - 24y + 160 - 73 = 0 \] \[ x^2 + y^2 + 8x - 24y + 87 = 0 \]

Ответ:

Уравнение окружности — это:

\[ x^2 + y^2 + 8x - 24y + 87 = 0 \]

Из предложенных вариантов правильный — третий:

Ответ:

\[ \boxed{x^2 + y^2 + 8x - 24y + 87 = 0} \]