2х-7/х+1 + 3х+2/х-1=7
Конечно! Рассмотрим задачу:
\[ \frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7 \]
Цель — понять, как решить это уравнение шаг за шагом.
Шаг 1: Анализируем уравнение
Обратите внимание, что это рациональное уравнение, в котором есть дроби с разными знаменателями. Для начала, лучше привести их к общему знаменателю, чтобы упростить выражение.
Шаг 2: Обнаружение условий
Знаменатели \(x+1\) и \(x-1\) не должны равняться нулю:
\[
x \neq -1 \quad \text{и} \quad x \neq 1
\]
Обозначим эти ограничения.
Шаг 3: Находим общий знаменатель
Общий знаменатель — произведение \( (x + 1)(x - 1) \).
Шаг 4: Приводим уравнение к общей дроби
Умножаем обе части уравнения на \( (x + 1)(x - 1) \), чтобы избавиться от дробей: \[ \left( \frac{2x - 7}{x + 1} \right) \cdot (x + 1)(x - 1) + \left( \frac{3x + 2}{x - 1} \right) \cdot (x + 1)(x - 1) = 7 \cdot (x + 1)(x - 1) \]
Упростим каждое слагаемое: \[ (2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x + 1)(x - 1) \]
Шаг 5: Раскроем скобки
Рассчитаем каждое произведение по отдельности:
\( (2x - 7)(x - 1) = 2x(x - 1) - 7(x - 1) = 2x^2 - 2x - 7x + 7 = 2x^2 - 9x + 7 \)
\( (3x + 2)(x + 1) = 3x(x + 1) + 2(x + 1) = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2 \)
\( 7(x + 1)(x - 1) = 7(x^2 - 1) = 7x^2 - 7 \)
Шаг 6: Запишем полученное уравнение
\[ 2x^2 - 9x + 7 + 3x^2 + 5x + 2 = 7x^2 - 7 \]
Объединим подобные члены:
Левое — \( 2x^2 + 3x^2 = 5x^2 \)
\(-9x + 5x = -4x\)
\(7 + 2 = 9\)
Это дает:
\[ 5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 \]
Шаг 7: Переносим все в одну сторону
Перемещаем правую часть:
\[ 5x^2 - 4x + 9 - 7x^2 + 7 = 0 \]
Объединяем подобные:
\[ (5x^2 - 7x^2) + (-4x) + (9 + 7) = 0 \] \[ -2x^2 - 4x + 16 = 0 \]
Можно сократить уравнение, разделив всю его часть на \(-2\):
\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Шаг 8: Решение квадратичного уравнения
Теперь решим:
\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Рассчитаем оба:
- \( x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Шаг 9: Проверка условий
Помните, что \(x \neq -1\) и \(x \neq 1\).
Наши решения — это \(x=2\) и \(x=-4\), оба подходят, так как не нарушают условия.
Ответ:
\[ \boxed{ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -4 } \]
Если есть еще вопросы — спрашивайте!
