2х-7/х+1 + 3х+2/х-1=7

Конечно! Рассмотрим задачу: \[ \frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7 \] Цель — понять, как решить это уравнение шаг за шагом. --- ### Шаг 1: Анализируем уравнение Обратите внимание, что это рациональное уравнение, в котором есть дроби с разными знаменателями. Для начала, лучше привести их к общему знаменателю, чтобы упростить выражение. --- ### Шаг 2: Обнаружение условий Знаменатели \(x+1\) и \(x-1\) не должны равняться нулю: \[ x \neq -1 \quad \text{и} \quad x \neq 1 \] Обозначим эти ограничения. --- ### Шаг 3: Находим общий знаменатель Общий знаменатель — произведение \( (x + 1)(x - 1) \). --- ### Шаг 4: Приводим уравнение к общей дроби Умножаем обе части уравнения на \( (x + 1)(x - 1) \), чтобы избавиться от дробей: \[ \left( \frac{2x - 7}{x + 1} \right) \cdot (x + 1)(x - 1) + \left( \frac{3x + 2}{x - 1} \right) \cdot (x + 1)(x - 1) = 7 \cdot (x + 1)(x - 1) \] Упростим каждое слагаемое: \[ (2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x + 1)(x - 1) \] --- ### Шаг 5: Раскроем скобки Рассчитаем каждое произведение по отдельности: 1. \( (2x - 7)(x - 1) = 2x(x - 1) - 7(x - 1) = 2x^2 - 2x - 7x + 7 = 2x^2 - 9x + 7 \) 2. \( (3x + 2)(x + 1) = 3x(x + 1) + 2(x + 1) = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2 \) 3. \( 7(x + 1)(x - 1) = 7(x^2 - 1) = 7x^2 - 7 \) --- ### Шаг 6: Запишем полученное уравнение \[ 2x^2 - 9x + 7 + 3x^2 + 5x + 2 = 7x^2 - 7 \] Объединим подобные члены: Левое — \( 2x^2 + 3x^2 = 5x^2 \) \(-9x + 5x = -4x\) \(7 + 2 = 9\) Это дает: \[ 5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 \] --- ### Шаг 7: Переносим все в одну сторону Перемещаем правую часть: \[ 5x^2 - 4x + 9 - 7x^2 + 7 = 0 \] Объединяем подобные: \[ (5x^2 - 7x^2) + (-4x) + (9 + 7) = 0 \] \[ -2x^2 - 4x + 16 = 0 \] Можно сократить уравнение, разделив всю его часть на \(-2\): \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] --- ### Шаг 8: Решение квадратичного уравнения Теперь решим: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Рассчитаем оба: - \( x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) - \( x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \) --- ### Шаг 9: Проверка условий Помните, что \(x \neq -1\) и \(x \neq 1\). Наши решения — это \(x=2\) и \(x=-4\), оба подходят, так как не нарушают условия. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -4 } \] Если есть еще вопросы — спрашивайте!