стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта.…

Рассмотрим задачу по построению дерева случайных опытов и расчету вероятности попадания стрелка в мишень.

Условие:

• При каждом выстреле вероятность попадания: \( p = 0,4 \)
• Если стрелок попал: он останавливается (больше не стреляет)
• Если промахнулся: делает еще один выстрел
• Нужно построить дерево опыта и найти вероятность, что стрелок попадет в мишень

Шаг 1. Построение дерева опыта

Дерево строится по ситуациям:

• Первый выстрел:

  • Попадание (вероятность \(0,4\))
  • Промах (вероятность \(1 - 0,4 = 0,6\))

• Если промах:

  • Следующий выстрел:
    • Попадание (вероятность \(0,4\))
    • Промах (вероятность \(0,6\))
  • И так далее...

Варианты развития событий:

1. Попал при первом выстреле (вероятность \(0,4\)). В этом случае стрелок останавливается.
2. Промахнулся при первом выстреле (вероятность \(0,6\)), тогда:
   • Попадает при втором выстреле (вероятность \(0,4\))
   • Промах при втором выстреле (вероятность \(0,6\)), и так далее...

Дерево можно изобразить так:

                (Старт)
                /     \
             Попад  Промах
             0,4    0,6
                   /     \
               Попад    Промах
               0,4      0,6
                       /     \
                     Попад  Промах
                     0,4    0,6
                     ...

Шаг 2. Расчет вероятности попадания

Нам нужно найти вероятность того, что стрелок когда-либо попадет в мишень. Заметим, что это либо случится при первом выстреле, либо при последующем после нескольких промахов.

Обозначим:

• \( P \) — вероятность того, что стрелок когда-либо попадет в мишень

Вероятность попасть на первом выстреле: \[ P_1 = 0,4 \]

Если он промахнется в первый раз (вероятность \(0,6\)), то шансы попасть позже остаются такими же, так как событие "попасть когда-либо" (после промаха) — это снова \( P \).

То есть, вероятность попасть в любой момент — это либо попасть с первого выстрела, либо промахнуться и затем попасть далее. Тогда:

\[ P = P_1 + (вероятность промаха в первом выстреле) \times P \] или \[ P = 0,4 + 0,6 \times P \]

Это уравнение по вероятности:

\[ P - 0,6 P = 0,4 \] \[ (1 - 0,6) P = 0,4 \] \[ 0,4 P = 0,4 \]

Следовательно:

\[ P = \frac{0,4}{0,4} = 1 \]

Ответ:

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень в конечном итоге, равна 1.

Это означает, что при неограниченном числе попыток он обязательно попадет в мишень (так как вероятность промаха и следующего промаха распространяется на бесконечное число попыток).