Давайте разберемся с неравенством: (-x^2 + 8x > 0).
Шаг 1: Перепишем неравенство в более удобной форме.
[-x^2 + 8x > 0]
Можно умножить оба члена на (-1), чтобы избавиться от минуса перед (x^2), помня, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
[
(-1) \times (-x^2 + 8x) < 0 \times (-1)
]
[
x^2 - 8x < 0
]
Теперь неравенство:
[
x^2 - 8x < 0
]
Шаг 2: Найти нули выражения (x^2 - 8x), т.е. решить уравнение:
[
x^2 - 8x = 0
]
[
x(x - 8) = 0
]
Решения:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8
]
Шаг 3: Определим знак выражения (x^2 - 8x) на промежутках, полученных из корней:
Для (x < 0),
выберем например (x = -1):
[
(-1)^2 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0
]
Значит, на промежутке ((-\infty, 0)) выражение положительно.
Для (0 < x < 8),
возьмем например (x=4):
[
16 - 32 = -16 < 0
]
Значит, на промежутке ((0, 8)) выражение отрицательно.
Для (x > 8),
возьмем مثلا (x=9):
[
81 - 72 = 9 > 0
]
Значит, на промежутке ((8, \infty)) выражение положительно.
Шаг 4: Теперь возвращаемся к исходному неравенству (x^2 - 8x < 0).
Это верно, когда (x) находится в интервале ((0, 8)).
Шаг 5: Ответ — найти целые числа, удовлетворяющие неравенству.
Целые числа, лежащие внутри интервала ((0, 8)):
[
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
]
Они все удовлетворяют условию.
Шаг 6: Требуется найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет условию.
Ответ: 7
Итог: Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству (-x^2 + 8x > 0), — это 7.
Если нужно более подробное объяснение — скажите!
