найдите наибольшее целое число удовлетворяющее неравенству -х^2+8х>0

Давайте разберемся с неравенством: \(-x^2 + 8x > 0\).

Шаг 1: Перепишем неравенство в более удобной форме.

\[-x^2 + 8x > 0\]

Можно умножить оба члена на \(-1\), чтобы избавиться от минуса перед \(x^2\), помня, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

\[ (-1) \times (-x^2 + 8x) < 0 \times (-1) \] \[ x^2 - 8x < 0 \]

Теперь неравенство: \[ x^2 - 8x < 0 \]

Шаг 2: Найти нули выражения \(x^2 - 8x\), т.е. решить уравнение:

\[ x^2 - 8x = 0 \] \[ x(x - 8) = 0 \]

Решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8 \]

Шаг 3: Определим знак выражения \(x^2 - 8x\) на промежутках, полученных из корней:

• Для \(x < 0\),

  выберем например \(x = -1\):

  \[ (-1)^2 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0 \] Значит, на промежутке \((-\infty, 0)\) выражение положительно.

• Для \(0 < x < 8\),

  возьмем например \(x=4\):

  \[ 16 - 32 = -16 < 0 \] Значит, на промежутке \((0, 8)\) выражение отрицательно.

• Для \(x > 8\),

  возьмем مثلا \(x=9\):

  \[ 81 - 72 = 9 > 0 \] Значит, на промежутке \((8, \infty)\) выражение положительно.

Шаг 4: Теперь возвращаемся к исходному неравенству \(x^2 - 8x < 0\).

Это верно, когда \(x\) находится в интервале \((0, 8)\).

Шаг 5: Ответ — найти целые числа, удовлетворяющие неравенству.

Целые числа, лежащие внутри интервала \((0, 8)\):

\[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \]

Они все удовлетворяют условию.

Шаг 6: Требуется найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет условию.

Ответ: 7

Итог: Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству \(-x^2 + 8x > 0\), — это 7.

Если нужно более подробное объяснение — скажите!