найдите наибольшее целое число удовлетворяющее неравенству -х^2+5х+2>0

Давайте подробно решим неравенство \(-x^2 + 5x + 2 > 0\).

Шаг 1. Перепишем неравенство в стандартной форме

Исходное неравенство: \[ -x^2 + 5x + 2 > 0 \] Чтобы было удобно решать, умножим обе части на \(-1\), не меняя знак неравенства (так как умножение на отрицательное число меняет знак неравенства): \[ x^2 - 5x - 2 < 0 \]

Теперь ищем значения \(x\), при которых \[ x^2 - 5x - 2 < 0 \]

Шаг 2. Найдём корни квадратного уравнения

Для этого решим уравнение: \[ x^2 - 5x - 2 = 0 \]

Используем формулу квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=-2\).

Подставляем: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \]

Обозначим корни: \[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \]

Поскольку \(\sqrt{33} \approx 5.7446\), \[ x_1 \approx \frac{5 - 5.7446}{2} \approx \frac{-0.7446}{2} \approx -0.3723 \] \[ x_2 \approx \frac{5 + 5.7446}{2} \approx \frac{10.7446}{2} \approx 5.3723 \]

Шаг 3. Анализать знак квадратичной функции

Парабола \(x^2 - 5x - 2\) → ветви вверх (ведь \(a=1>0\)). Значит, неравенство \(x^2 - 5x - 2 < 0\) выполняется между корнями.

То есть решение: \[ x \in (x_1, x_2) \approx \left(-0.3723, 5.3723\right) \]

Вернувшись к исходному неравенству: \[ -x^2 + 5x + 2 > 0 \] оно выполняется на интервале \((x_1, x_2)\).

Шаг 4. Найдём наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

Т.к. интервал примерно \((-0.3723, 5.3723)\), то все целые числа в этом диапазоне: \[ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \]

Самое большое целое число, которое не превышает верхнюю границу интервала \(5.3723\), — это 5.

Проверим для уверенности: \[ x=5: \] \[ -5^2 + 5 \cdot 5 + 2 = -25 + 25 + 2 = 2 > 0 \]

Верно. Также проверим при \(x=6\): \[ -36 + 30 + 2 = -4 < 0 \] не удовлетворяет неравенству.

Итог:

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству \(-x^2 + 5x + 2 > 0\), — это \(\boxed{5}\).