В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня…
В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит p = 1 4 p= 4 1 . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу?
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Общее количество задач: \( n = 5 \)
- Вариантов ответа для каждой задачи: 4
- Ваня отвечает наугад.
- Нужно правильно решить хотя бы 2 задачи, чтобы не идти на пересдачу.
- Вероятность того, что он правильно решит одну задачу (в случае угадывания): \( p = \frac{1}{4} \).
- Вероятность ошибиться в задаче: \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \).
Шаг 1: Построение модели
Это собой представляет задачу на биномиальное распределение, где:
- число испытаний: \( n = 5 \)
- вероятность успеха в каждом испытании: \( p = \frac{1}{4} \)
- требуется посчитать вероятность того, что он правильно решит хотя бы 2 задачи (то есть успехов — \( k \geq 2 \)).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из 5 задач он правильно решит ровно \( k \) задач:
\[ P(X = k) = \binom{5}{k} p^k (1-p)^{5-k} \]
Где:
- \( \binom{5}{k} \) — число сочетаний из 5 по k.
Шаг 3: Расчет вероятности успеха \( P(\text{не пойти на пересдачу}) \)
Это вероятность того, что он решит правильно хотя бы 2 задачи:
\[ P(k \geq 2) = 1 - P(k = 0) - P(k = 1) \]
Посчитаем отдельно:
- \( P(k=0) \)
\[ P(0) = \binom{5}{0} p^0 (1-p)^5 = 1 \times 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^5 \]
- \( P(k=1) \)
\[ P(1) = \binom{5}{1} p^1 (1-p)^4 = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]
Шаг 4: Вычисления
- \( P(0) \):
\[ P(0) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{3^5}{4^5} = \frac{243}{1024} \]
- \( P(1) \):
\[ P(1) = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \] \[ = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3^4}{4^4} = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} \] \[ = 5 \times \frac{81}{4 \times 256} = 5 \times \frac{81}{1024} = \frac{405}{1024} \]
Шаг 5: Итоговая вероятность
\[ P(k \geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024} \]
Общий знаменатель:
\[ = \frac{1024}{1024} - \frac{243 + 405}{1024} = \frac{1024 - 648}{1024} = \frac{376}{1024} \]
Сократим дробь:
\[ \frac{376}{1024} = \frac{47}{128} \]
Ответ:
Вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу:
\[ \boxed{\frac{47}{128} \approx 0.367} \]
Это примерно 36.7%.
