Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Общее количество задач: ( n = 5 )
- Вариантов ответа для каждой задачи: 4
- Ваня отвечает наугад.
- Нужно правильно решить хотя бы 2 задачи, чтобы не идти на пересдачу.
- Вероятность того, что он правильно решит одну задачу (в случае угадывания): ( p = \frac{1}{4} ).
- Вероятность ошибиться в задаче: ( q = 1 - p = \frac{3}{4} ).
Шаг 1: Построение модели
Это собой представляет задачу на биномиальное распределение, где:
- число испытаний: ( n = 5 )
- вероятность успеха в каждом испытании: ( p = \frac{1}{4} )
- требуется посчитать вероятность того, что он правильно решит хотя бы 2 задачи (то есть успехов — ( k \geq 2 )).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из 5 задач он правильно решит ровно ( k ) задач:
[
P(X = k) = \binom{5}{k} p^k (1-p)^{5-k}
]
Где:
- ( \binom{5}{k} ) — число сочетаний из 5 по k.
Шаг 3: Расчет вероятности успеха ( P(\text{не пойти на пересдачу}) )
Это вероятность того, что он решит правильно хотя бы 2 задачи:
[
P(k \geq 2) = 1 - P(k = 0) - P(k = 1)
]
Посчитаем отдельно:
[
P(0) = \binom{5}{0} p^0 (1-p)^5 = 1 \times 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^5
]
[
P(1) = \binom{5}{1} p^1 (1-p)^4 = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
Шаг 4: Вычисления
- ( P(0) ):
[
P(0) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{3^5}{4^5} = \frac{243}{1024}
]
- ( P(1) ):
[
P(1) = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
[
= 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3^4}{4^4} = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256}
]
[
= 5 \times \frac{81}{4 \times 256} = 5 \times \frac{81}{1024} = \frac{405}{1024}
]
Шаг 5: Итоговая вероятность
[
P(k \geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024}
]
Общий знаменатель:
[
= \frac{1024}{1024} - \frac{243 + 405}{1024} = \frac{1024 - 648}{1024} = \frac{376}{1024}
]
Сократим дробь:
[
\frac{376}{1024} = \frac{47}{128}
]
Ответ:
Вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу:
[
\boxed{\frac{47}{128} \approx 0.367}
]
Это примерно 36.7%.
