(4 3/8 - 3 7/15) - (7 5/16 - 3 7/15)
Давайте подробно решим задачу: \[(4\frac{3}{8} - 3\frac{7}{15}) - (7\frac{5}{16} - 3\frac{7}{15})\].
Цель — понять каждый шаг, поэтому я подробно объясню все действия.
Шаг 1: Распределение скобок
Задача — вычесть из первого выражения второе, то есть \[ (4\frac{3}{8} - 3\frac{7}{15}) - (7\frac{5}{16} - 3\frac{7}{15}) \]
Для удобства лучше упростить каждое скобочное выражение отдельно.
Шаг 2: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби
Первое выражение: \(4\frac{3}{8}\)
\[ 4\frac{3}{8} = \frac{4 \times 8 + 3}{8} = \frac{32 + 3}{8} = \frac{35}{8} \]
Второе выражение: \(3\frac{7}{15}\)
\[ 3\frac{7}{15} = \frac{3 \times 15 + 7}{15} = \frac{45 + 7}{15} = \frac{52}{15} \]
Третье выражение: \(7\frac{5}{16}\)
\[ 7\frac{5}{16} = \frac{7 \times 16 + 5}{16} = \frac{112 + 5}{16} = \frac{117}{16} \]
Шаг 3: Упростим выражения внутри скобок
Первое скобочное выражение:
\[ \frac{35}{8} - \frac{52}{15} \]
Второе скобочное выражение:
\[ \frac{117}{16} - \frac{52}{15} \]
Обратите внимание, что оба выражения содержат \(\frac{52}{15}\). Это упростит дальнейшие действия.
Шаг 4: Находим разности в каждой скобке
4.1: Вычисляем \(\frac{35}{8} - \frac{52}{15}\)
Нам нужен общий знаменатель для \(\frac{35}{8}\) и \(\frac{52}{15}\).
Общий знаменатель — НОК (наименьшее общее кратное) для 8 и 15:
\[ 8 = 2^3,\quad 15 = 3 \times 5 \]
НОК:
\[ 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \]
Теперь приводим обе дроби к знаменателю 120:
\[ \frac{35}{8} = \frac{35 \times 15}{120} = \frac{525}{120} \]
\[ \frac{52}{15} = \frac{52 \times 8}{120} = \frac{416}{120} \]
Вычитаем:
\[ \frac{525}{120} - \frac{416}{120} = \frac{525 - 416}{120} = \frac{109}{120} \]
4.2: Вычисляем \(\frac{117}{16} - \frac{52}{15}\)
Общий знаменатель для 16 и 15:
\[ 16 = 2^4,\quad 15 = 3 \times 5 \]
НОК:
\[ 2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 3 \times 5 = 240 \]
Приводим дроби к знаменателю 240:
\[ \frac{117}{16} = \frac{117 \times 15}{240} = \frac{1755}{240} \]
\[ \frac{52}{15} = \frac{52 \times 16}{240} = \frac{832}{240} \]
Вычитаем:
\[ \frac{1755}{240} - \frac{832}{240} = \frac{1755 - 832}{240} = \frac{923}{240} \]
Шаг 5: Вычитаем полученные результаты
Теперь у нас получилось:
\[ \left(\frac{109}{120}\right) - \left(\frac{923}{240}\right) \]
Общий знаменатель для 120 и 240 — 240 (так как 240 — кратное число).
Приводим \(\frac{109}{120}\) к знаменателю 240:
\[ \frac{109}{120} = \frac{109 \times 2}{240} = \frac{218}{240} \]
Теперь вычитаем:
\[ \frac{218}{240} - \frac{923}{240} = \frac{218 - 923}{240} = \frac{-705}{240} \]
Шаг 6: Упростим итоговую дробь
Итог — отрицательная дробь:
\[ \frac{-705}{240} \]
Находим сокращение дроби. Разложения числителя и знаменателя:
- \(705\) делится на 15 (так как сумма цифр 7+0+5=12 — делится на 3, и 15 — самый очевидный делитель).
- Проверим делимость:
\[ 705 \div 15 = 47 \] \[ 240 \div 15 = 16 \]
Таким образом, дробь сокращается до:
\[ \frac{-47}{16} \]
Ответ:
\[ \boxed{ -\frac{47}{16} } \]
или в виде смешанного числа:
\[ -2\frac{15}{16} \]
Если хотите, я могу дополнительно объяснить, как оформить ответ или провести дополнительные расчёты.
