Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз вероятность события <<выпадет ровно 4 орла>> больше вероятности события<<выпадет ровно 2 орла>>?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условие: Монету бросают 8 раз. Нужно найти отношение вероятности того, что выпадет ровно 4 орла, к вероятности того, что выпадет ровно 2 орла.
Шаг 1: Определение вероятностей
Вероятности получения ровно k орлов при 8 бросках описываются формулой биномиального распределения:
\[ P(k) = C_{8}^{k} \times \left(\frac{1}{2}\right)^k \times \left(\frac{1}{2}\right)^{8 - k} = C_{8}^{k} \times \left(\frac{1}{2}\right)^8 \]
Здесь:
- \( C_{8}^{k} \) — количество сочетаний выбрать \(k\) орлов из 8 бросков,
- \( \left(\frac{1}{2}\right)^8 \) — вероятность любого конкретного исхода из \(2^8=256\) возможных.
Шаг 2: Вычисление необходимых коэффициентов сочетаний
Нам нужны:
- \( C_{8}^{4} \)
- \( C_{8}^{2} \)
Значения: \[ C_{8}^{4} = \frac{8!}{4! \times 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \] \[ C_{8}^{2} = \frac{8!}{2! \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]
Шаг 3: Записываем вероятности
\[ P(4) = C_{8}^{4} \times \frac{1}{2^8} = 70 \times \frac{1}{256} \] \[ P(2) = C_{8}^{2} \times \frac{1}{2^8} = 28 \times \frac{1}{256} \]
Шаг 4: Находим отношение вероятностей
\[ \frac{P(4)}{P(2)} = \frac{70 \times \frac{1}{256}}{28 \times \frac{1}{256}} = \frac{70}{28} = \frac{70}{28} \]
Сокращаем дробь: \[ \frac{70}{28} = \frac{5}{2} \]
Ответ:
Вероятность события "выпадет ровно 4 орла" в \( \frac{5}{2} \) раз больше вероятности события "выпадет ровно 2 орла."
Если нужен более подробный разбор или объяснение, могу дополнить!
