Давайте решим задачу поэтапно, учитывая, что нужно определить скорость баржи (все данные и условия указаны).
Обозначения:
- Скорость баржи в неподвижной воде — ( v ) (наш искомый параметр)
- Скорость течения реки — ( u = 5 ) км/ч
- Первое расстояние по течению — 32 км
- Обратное расстояние — 24 км
- Общее время — 4 часа
Шаг 1. Запишем скорости относительно берега
- Скорость при движении по течению: ( v + u )
- Скорость при движении против течения: ( v - u )
Шаг 2. Запишем время прохождения каждого участка
- Время прохождения по течению: ( t_1 = \frac{32}{v + 5} )
- Время прохождения против течения: ( t_2 = \frac{24}{v - 5} )
Общее время:
[ t_1 + t_2 = 4 ]
Или
[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 ]
Шаг 3. Решим уравнение
Запишем уравнение полностью:
[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 ]
Чтобы избавиться от дробей, приведем к общему знаменателю: ((v + 5)(v - 5) = v^2 - 25).
Умножим обе части уравнения на ( v^2 - 25 ):
[ 32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v^2 - 25) ]
Раскроем скобки:
[ 32v - 160 + 24v + 120 = 4v^2 - 100 ]
Объединим подобные:
[ (32v + 24v) + (-160 + 120) = 4v^2 - 100 ]
[ 56v - 40 = 4v^2 - 100 ]
Перенесем все в левую сторону:
[ 4v^2 - 100 - 56v + 40 = 0 ]
Упростим:
[ 4v^2 - 56v - 60 = 0 ]
Разделим всё уравнение на 4:
[ v^2 - 14v - 15 = 0 ]
Шаг 4. Решим квадратное уравнение
Используем формулу для нахождения корней:
[ v = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} ]
Вычисляем дискриминант:
[ D = 196 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 ]
Теперь корень из D:
[ \sqrt{256} = 16 ]
Подставляем:
[ v = \frac{14 \pm 16}{2} ]
Образуются два возможных значения:
- [ v = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 ]
- [ v = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
[ v = 15 \text{ км/ч} ]
Ответ:
Скорость баржи в неподвижной воде равна 15 км/ч.
