баржа прошла по течению ркеи 32 километра, и повернув обратно, прошла ещё 24 километра, затратив на весь путь 4 часа. Найти скорость баржи, если скорость течения реки равна 5…
Баржа прошла по течению ркеи 32 километра, и повернув обратно, прошла ещё 24 километра, затратив на весь путь 4 часа. Найти скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 километров в час
Давайте решим задачу поэтапно, учитывая, что нужно определить скорость баржи (все данные и условия указаны).
Обозначения:
- Скорость баржи в неподвижной воде — \( v \) (наш искомый параметр)
- Скорость течения реки — \( u = 5 \) км/ч
- Первое расстояние по течению — 32 км
- Обратное расстояние — 24 км
- Общее время — 4 часа
Шаг 1. Запишем скорости относительно берега
- Скорость при движении по течению: \( v + u \)
- Скорость при движении против течения: \( v - u \)
Шаг 2. Запишем время прохождения каждого участка
- Время прохождения по течению: \( t_1 = \frac{32}{v + 5} \)
- Время прохождения против течения: \( t_2 = \frac{24}{v - 5} \)
Общее время:
\[ t_1 + t_2 = 4 \]
Или
\[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 \]
Шаг 3. Решим уравнение
Запишем уравнение полностью:
\[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 \]
Чтобы избавиться от дробей, приведем к общему знаменателю: \((v + 5)(v - 5) = v^2 - 25\).
Умножим обе части уравнения на \( v^2 - 25 \):
\[ 32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v^2 - 25) \]
Раскроем скобки:
\[ 32v - 160 + 24v + 120 = 4v^2 - 100 \]
Объединим подобные:
\[ (32v + 24v) + (-160 + 120) = 4v^2 - 100 \]
\[ 56v - 40 = 4v^2 - 100 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 4v^2 - 100 - 56v + 40 = 0 \]
Упростим:
\[ 4v^2 - 56v - 60 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 4:
\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]
Шаг 4. Решим квадратное уравнение
Используем формулу для нахождения корней:
\[ v = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} \]
Вычисляем дискриминант:
\[ D = 196 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]
Теперь корень из D:
\[ \sqrt{256} = 16 \]
Подставляем:
\[ v = \frac{14 \pm 16}{2} \]
Образуются два возможных значения:
- \[ v = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
- \[ v = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
\[ v = 15 \text{ км/ч} \]
Ответ:
Скорость баржи в неподвижной воде равна 15 км/ч.
