Найди площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5.

Давайте разберемся, как найти площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5.

Шаг 1. Найти гипотенузу треугольника

Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

где:

• \( a = 12 \)
• \( b = 5 \)

Подставляем значения:

\[ c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

Итак, гипотенуза равна 13.

Шаг 2. Определить радиус вписанного круга

Вписанный круг – это круг, который касается всех сторон треугольника внутри него. Радиус (обозначим его \( r \)) связан со сторонами и площадью треугольника.

Формула радиуса вписанного круга для любого треугольника:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( p \) — полупериметр треугольника, то есть сумма сторон, деленная на 2.

Но так как этот треугольник прямоугольный, есть упрощенная формула радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

где:

• \( a = 12 \),
• \( b = 5 \),
• \( c = 13 \).

Подставим значения:

\[ r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Шаг 3. Найти площадь вписанного круга

Площадь круга:

\[ S_{\text{круга}} = \pi r^2 \]

Подставляем радиус \( r = 2 \):

\[ S_{\text{круга}} = \pi \times 2^2 = 4\pi \]

Итог:

Площадь круга, в который вписан данный прямоугольный треугольник, равна \( 4\pi \).