Давайте разберемся, как найти площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5.
Шаг 1. Найти гипотенузу треугольника
Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:
[ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]
где:
Подставляем значения:
[ c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 ]
Итак, гипотенуза равна 13.
Шаг 2. Определить радиус вписанного круга
Вписанный круг – это круг, который касается всех сторон треугольника внутри него. Радиус (обозначим его ( r )) связан со сторонами и площадью треугольника.
Формула радиуса вписанного круга для любого треугольника:
[
r = \frac{S}{p}
]
где:
- ( S ) — площадь треугольника,
- ( p ) — полупериметр треугольника, то есть сумма сторон, деленная на 2.
Но так как этот треугольник прямоугольный, есть упрощенная формула радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
где:
- ( a = 12 ),
- ( b = 5 ),
- ( c = 13 ).
Подставим значения:
[
r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
Шаг 3. Найти площадь вписанного круга
Площадь круга:
[
S_{\text{круга}} = \pi r^2
]
Подставляем радиус ( r = 2 ):
[
S_{\text{круга}} = \pi \times 2^2 = 4\pi
]
Итог:
Площадь круга, в который вписан данный прямоугольный треугольник, равна ( 4\pi ).
