устройство, состоявшее из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого из них за сутки равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут 3 элемента, не менее 4…

Рассмотрим задачу: устройство состоит из 5 элементов, каждый из которых независимо и имеет вероятность отказа за сутки равную 0,2. Нужно найти вероятности следующих событий:

1. Откажут ровно 3 элемента.
2. Откажут не менее 4 элементов (то есть 4 или 5).
3. Откажут менее 4 элементов (то есть 0, 1, 2 или 3).

Это классическая задача на использование биномиального распределения.

Обозначения:

• \( n = 5 \) — количество элементов.
• \( p = 0,2 \) — вероятность отказа каждого элемента.
• \( q = 1 - p = 0,8 \) — вероятность его работы.

Формула биномиальной вероятности:

\[ P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n - k} \]

где:

• \( k \) — число отказавших элементов,
• \( \binom{n}{k} \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \).

1. Вероятность, что отказут ровно 3 элемента:

\[ P(3) = \binom{5}{3} (0.2)^3 (0.8)^{2} \]

Найдем \(\binom{5}{3}\):

\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Теперь считаем:

\[ P(3) = 10 \times (0.2)^3 \times (0.8)^2 \]

Вычислим степени:

\[ (0.2)^3 = 0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008 \] \[ (0.8)^2 = 0.8 \times 0.8 = 0.64 \]

Итак,

\[ P(3) = 10 \times 0.008 \times 0.64 = 10 \times 0.00512 = 0.0512 \]

Ответ для 3 отказавших элементов: 0,0512 или 5,12%.

2. Вероятность, что отказут не менее 4 элементов (= 4 или 5):

\[ P(\geq 4) = P(4) + P(5) \]

Для \( P(4) \):

\[ \binom{5}{4} = 5 \] \[ P(4) = 5 \times (0.2)^4 \times (0.8)^1 \] \[ (0.2)^4 = 0.0016 \] \[ (0.8)^1 = 0.8 \] \[ P(4) = 5 \times 0.0016 \times 0.8 = 5 \times 0.00128 = 0.0064 \]

Для \( P(5) \):

\[ \binom{5}{5} = 1 \] \[ P(5) = 1 \times (0.2)^5 \times (0.8)^0 \] \[ (0.2)^5 = 0.00032 \] \[ P(5) = 1 \times 0.00032 \times 1 = 0.00032 \]

Итог:

\[ P(\geq 4) = 0.0064 + 0.00032 = 0.00672 \]

Ответ: примерно 0,00672 или 0,672%.

3. Вероятность, что откажут менее 4 элементов (= 0, 1, 2, 3):

Это можно найти, как дополнение к вероятности отказов 4 или более элементов:

\[ P(<4) = 1 - P(\geq 4) \]

\[ P(<4) = 1 - 0.00672 = 0.99328 \]

Ответ: примерно 0,99328 или 99,328%.

Если нужно еще что-то уточнить или объяснить подробнее — обращайтесь!