Рассмотрим задачу: устройство состоит из 5 элементов, каждый из которых независимо и имеет вероятность отказа за сутки равную 0,2. Нужно найти вероятности следующих событий:
- Откажут ровно 3 элемента.
- Откажут не менее 4 элементов (то есть 4 или 5).
- Откажут менее 4 элементов (то есть 0, 1, 2 или 3).
Это классическая задача на использование биномиального распределения.
Обозначения:
- ( n = 5 ) — количество элементов.
- ( p = 0,2 ) — вероятность отказа каждого элемента.
- ( q = 1 - p = 0,8 ) — вероятность его работы.
Формула биномиальной вероятности:
[
P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n - k}
]
где:
- ( k ) — число отказавших элементов,
- ( \binom{n}{k} ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ).
1. Вероятность, что отказут ровно 3 элемента:
[
P(3) = \binom{5}{3} (0.2)^3 (0.8)^{2}
]
Найдем (\binom{5}{3}):
[
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
]
Теперь считаем:
[
P(3) = 10 \times (0.2)^3 \times (0.8)^2
]
Вычислим степени:
[
(0.2)^3 = 0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008
]
[
(0.8)^2 = 0.8 \times 0.8 = 0.64
]
Итак,
[
P(3) = 10 \times 0.008 \times 0.64 = 10 \times 0.00512 = 0.0512
]
Ответ для 3 отказавших элементов: 0,0512 или 5,12%.
2. Вероятность, что отказут не менее 4 элементов (= 4 или 5):
[
P(\geq 4) = P(4) + P(5)
]
Для ( P(4) ):
[
\binom{5}{4} = 5
]
[
P(4) = 5 \times (0.2)^4 \times (0.8)^1
]
[
(0.2)^4 = 0.0016
]
[
(0.8)^1 = 0.8
]
[
P(4) = 5 \times 0.0016 \times 0.8 = 5 \times 0.00128 = 0.0064
]
Для ( P(5) ):
[
\binom{5}{5} = 1
]
[
P(5) = 1 \times (0.2)^5 \times (0.8)^0
]
[
(0.2)^5 = 0.00032
]
[
P(5) = 1 \times 0.00032 \times 1 = 0.00032
]
Итог:
[
P(\geq 4) = 0.0064 + 0.00032 = 0.00672
]
Ответ: примерно 0,00672 или 0,672%.
3. Вероятность, что откажут менее 4 элементов (= 0, 1, 2, 3):
Это можно найти, как дополнение к вероятности отказов 4 или более элементов:
[
P(<4) = 1 - P(\geq 4)
]
[
P(<4) = 1 - 0.00672 = 0.99328
]
Ответ: примерно 0,99328 или 99,328%.
Если нужно еще что-то уточнить или объяснить подробнее — обращайтесь!
