Давайте разберём задачу по шагам.
Дано:
- Основание — прямоугольный треугольник,
- Катет = 6 см,
- Острые углы при основании — 45° (предположим, что это угол у одного из катетов),
- Объем призмы = 108 куб. см.
Нам нужно найти площадь полной поверхности призмы.
Шаг 1. Определим параметры основания.
Пусть в прямоугольном треугольнике один из острых углов — 45°. Тогда, если один катет равен 6 см, то другой катет тоже равен 6 см (так как в прямоугольном треугольнике с углом 45°, катеты равны).
Итак:
- Катеты: ( a = 6 \text{ см} ),
- Гипотенуза: ( c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} ).
Шаг 2. Площадь основания.
Площадь прямоугольного треугольника:
[
S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \text{ см}^2.
]
Шаг 3. Объем призмы.
Объем равен площади основания умноженной на высоту призмы ( h ):
[
V = S_{осн} \times h.
]
Из условия:
[
108 = 18 \times h \Rightarrow h = \frac{108}{18} = 6 \text{ см}.
]
Значит, высота призмы равна 6 см.
Шаг 4. Площадь полной поверхности призмы.
Площадь полной поверхности — это сумма площади двух оснований и площади боковых поверхностей.
- Площадь 2 оснований:
[
2 \times 18 = 36 \text{ см}^2.
]
- Боковые поверхности: это три прямоугольника, стороны которых — это ребра основания (катеты и гипотенуза) и высота.
Боковые стороны:
- Боковая поверхность, соответствующая катету ( a = 6 ) см:
[
P_1 = a \times h = 6 \times 6 = 36 \text{ см}^2.
]
- Аналогично для другого катета — тоже 36 см².
- Боковая поверхность, соответствующая гипотенузе ( c = 6\sqrt{2} ):
[
P_3 = c \times h = 6\sqrt{2} \times 6 = 36\sqrt{2} \text{ см}^2.
]
Шаг 5. Итоговая площадь полной поверхности.
[
S_{полн} = 2 \times S_{осн} + P_1 + P_2 + P_3,
]
[
S_{полн} = 36 + 36 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2,
]
[
\boxed{
S_{полн} = 72 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2.
}
]
Ответ:
Площадь полной поверхности призмы равна ( 72 + 36\sqrt{2} ) см².
