Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника.
Дано:
- Прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см
- Вращение вокруг большей стороны (8 см)
Шаг 1. Определяем параметры цилиндра
При вращении прямоугольника вокруг большей стороны (8 см), меньшая сторона (5 см) станет высотой цилиндра, а длина большей стороны (8 см) — окружностью основания.
- Высота цилиндра (h): 5 см
- Радиус основания (r): равен половине длины окружности основания, то есть радиус равен длине меньшей стороны, а сама окружность основания равна длине большей стороны.
Обоснуем это более подробно:
- Вращая прямоугольник, образуется цилиндр, где окружность основания равна длине той стороны прямоугольника, которая не вращается — это 8 см.
Но радиус окружности рассчитывается так:
[
\text{Длина окружности} = 2 \pi r
]
где длина окружности равна 8 см, значит:
[
2 \pi r = 8 \implies r = \frac{8}{2 \pi} = \frac{4}{\pi} \text{ см}
]
Шаг 2. Находим площади
Площадь боковой поверхности цилиндра:
Формула:
[
S_{бок} = 2 \pi r h
]
Подставляем значения:
[
r = \frac{4}{\pi} \quad , \quad h = 5 \text{ см}
]
Вычисляем:
[
S_{бок} = 2 \pi \times \frac{4}{\pi} \times 5 = 2 \times 4 \times 5 = 40 \text{ см}^2
]
Площадь полной поверхности цилиндра:
Формула:
[
S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}
]
где:
[
S_{осн} = \pi r^2
]
Вычисляем площадь основания:
[
S_{осн} = \pi \times \left(\frac{4}{\pi}\right)^2 = \pi \times \frac{16}{\pi^2} = \frac{16}{\pi}
]
Теперь полная площадь:
[
S_{полн} = 40 + 2 \times \frac{16}{\pi} = 40 + \frac{32}{\pi}
]
Ответ:
- Площадь боковой поверхности: 40 см²
- Площадь полной поверхности: (\boxed{40 + \frac{32}{\pi} \text{ см}^2})
Если нужно, я могу округлить ответ или объяснить более подробно любой из шагов.
