вычислите площадь круга, вписанного в треугольник, стороны которого равны 10см, 24см, 26см
Дано треугольник со сторонами \( a = 10\,\text{см} \), \( b = 24\,\text{см} \), \( c = 26\,\text{см} \).
Для нахождения площади описанного круга (вписанного круга) нам нужно сначала найти радиус вписанной окружности \( r \). Формула площади треугольника по полупериметру \( p \) и его сторонам:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \] \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]
Затем радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{p} \]
И площадь круга:
\[ \text{Площадь} = \pi r^2 \]
- Вычислим полупериметр:
\[ p = \frac{10 + 24 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30\,\text{см} \]
- Вычислим площадь треугольника:
\[ S = \sqrt{30(30 - 10)(30 - 24)(30 - 26)} = \sqrt{30 \times 20 \times 6 \times 4} \]
\[ S = \sqrt{30 \times 20 \times 6 \times 4} \]
Выполним умножения под корнем:
\[ 30 \times 20 = 600 \] \[ 6 \times 4 = 24 \]
Итак:
\[ S = \sqrt{600 \times 24} = \sqrt{14400} \]
\[ S = 120\,\text{см}^2 \]
- Радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{120}{30} = 4\,\text{см} \]
- Площадь круга:
\[ A = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16 \pi \approx 16 \times 3.1416 \approx 50.27\,\text{см}^2 \]
Ответ: около 50.27 квадратных сантиметров.
