Рассмотрим задачу по шагам:
Дано:
- Всего ученых: 20
- Из них: 10 из Австрии, 8 из Чехии, 2 из Венгрии
- Каждому подготовлен один доклад
- Доклады расположены в случайном порядке (перестановка)
- Нужно найти вероятность того, что вторым будет доклад ученого из Венгрии
Шаг 1: Общее число возможных порядков
Общее число способов расставить все 20 докладов — это число перестановок:
[
N_{всего} = 20!
]
Шаг 2: вычисляем количество благоприятных случаев
Нам нужно, чтобы:
- На втором месте был доклад Венгерского ученого (из 2).
- Порядок остальных 19 докладов может быть любой.
Обозначим:
- Доклад венгерского ученого занимает позицию 2.
- Остальные 19 позиций заполняются оставшимися учеными (все ученые, кроме того, кто стоит на втором месте).
Количество способов выбрать расположение остальных ученых:
- Осталось: 19 ученых (по 9 из Австрии, 8 из Чехии и 1 из Венгерии, так как один из венгерских уже на втором месте).
Однако, чтобы посчитать количество вариантов, нужно:
- выбрать, кто из 2 венгерских ученых зайдет на позицию 2 (необходимо выбрать одного из двух).
Для этого есть 2 варианта:
[
\text{Количество способов выбрать венгерского ученого для позиции 2} = 2
]
- Остальные 19 мест заполняются оставшимися 19 учеными (все остальные: 9 австрийцев, 8 чехов и 1 венгр, итого 18, плюс - осталась одна свободная позиция, чтобы заполнить.)
Порядок этих 19 человек — это перестановка из 19 элементов:
[
19!
]
Обратите внимание: Т.к. позиции 1 и 3–20 могут быть любые, а мы зафиксировали только позицию 2, то число способов этого — равно:
[
2 \times 19!
]
Шаг 3: вероятность
Общая вероятность — это отношение благоприятных случаев к общему количеству случаев:
[
P = \frac{\text{число благоприятных перестановок}}{\text{общее число перестановок}} = \frac{2 \times 19!}{20!}
]
Выразим (20!):
[
20! = 20 \times 19!
]
Тогда:
[
P = \frac{2 \times 19!}{20 \times 19!} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{1}{10}}
]
Вероятность того, что вторым окажется доклад ученого из Венгрии, равна 1/10 или 10%.
