Давайте решим задачу пошагово и с подробными объяснениями.
Дано:
- Углы дуги ( AB ) = 270°
- Радиус окружности ( R = \sqrt{2} )
Нам нужно найти длину хорды ( AB ).
Шаг 1. Понимание задачи
- Углы дуги и дуги, соединённой с этой хордах, связаны через центральный угол.
- В окружности, длина хорды зависит от центрального угла ( \theta ), который она поддувает.
Шаг 2. Связь между дугой и центральным углом
- Центр окружности — точка ( O ).
- Углом, соответствующим дуге ( AB ), является центральный угол ( \angle AOB ).
- Дуга ( AB ) опирается на этот угол.
- Если дуга равна 270°, то центральный угол ( \angle AOB ) также равен 270°, потому что дуга и центральный угол связаны пропорционально (для дуги и угла она равна их дугі і).
Шаг 3. Формула длины хорды
Формула длины хорды ( AB ):
[
AB = 2 \times R \times \sin \left( \frac{\theta}{2} \right),
]
где:
- ( R ) — радиус окружности,
- ( \theta ) — центральный угол в градусах, опирающийся на дугу,
так как:
[
\theta = 270^\circ,
]
то:
[
AB = 2 \times R \times \sin \left( \frac{270^\circ}{2} \right) = 2 \times R \times \sin(135^\circ).
]
Шаг 4. Вычисление синуса
[
\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Шаг 5. Подставляем все значения
[
AB = 2 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Упростим выражение:
[
AB = 2 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Обратите внимание, что ( 2 ) и ( \frac{1}{2} ) сократятся:
[
AB = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2.
]
Ответ:
Длина хорды ( AB ) равна 2.
Если есть еще вопросы или нужно объяснить подробнее — пишите!
