дуга ab равна 270 градусов найдите длину хорды ab если радиус окружности равен корень из 2
Давайте решим задачу пошагово и с подробными объяснениями.
Дано:
- Углы дуги \( AB \) = 270°
- Радиус окружности \( R = \sqrt{2} \)
Нам нужно найти длину хорды \( AB \).
Шаг 1. Понимание задачи
- Углы дуги и дуги, соединённой с этой хордах, связаны через центральный угол.
- В окружности, длина хорды зависит от центрального угла \( \theta \), который она поддувает.
Шаг 2. Связь между дугой и центральным углом
- Центр окружности — точка \( O \).
- Углом, соответствующим дуге \( AB \), является центральный угол \( \angle AOB \).
- Дуга \( AB \) опирается на этот угол.
- Если дуга равна 270°, то центральный угол \( \angle AOB \) также равен 270°, потому что дуга и центральный угол связаны пропорционально (для дуги и угла она равна их дугі і).
Шаг 3. Формула длины хорды
Формула длины хорды \( AB \): \[ AB = 2 \times R \times \sin \left( \frac{\theta}{2} \right), \] где:
- \( R \) — радиус окружности,
- \( \theta \) — центральный угол в градусах, опирающийся на дугу,
так как: \[ \theta = 270^\circ, \] то: \[ AB = 2 \times R \times \sin \left( \frac{270^\circ}{2} \right) = 2 \times R \times \sin(135^\circ). \]
Шаг 4. Вычисление синуса
\[ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Шаг 5. Подставляем все значения
\[ AB = 2 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Упростим выражение: \[ AB = 2 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Обратите внимание, что \( 2 \) и \( \frac{1}{2} \) сократятся:
\[ AB = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2. \]
Ответ:
Длина хорды \( AB \) равна 2.
Если есть еще вопросы или нужно объяснить подробнее — пишите!
