В классе 18 человек занимаются греблей, 20 гандболом и 16 горными лыжами. Каждый спортсмен занимается ровно двумя из этих видов спорта. Определите, сколько всего в классе…

Давайте внимательно разберем задачу и решим ее шаг за шагом.

Дано:

• Общее количество спортсменов:
  • занимающихся греблей: \( G = 18 \)
  • занимающихся гандболом: \( H = 20 \)
  • занимающихся горными лыжами: \( L = 16 \)
• Каждый спортсмен занимается ровно двумя видами спорта.

Задача: Определить общее число спортсменов.

Шаг 1. Введение обозначений для пересечений

Обозначим:

• \( x \) — число спортсменов, занимающихся обоими видами спорта \( G \) и \( H \)
• \( y \) — число спортсменов, занимающихся обоими видами спорта \( G \) и \( L \)
• \( z \) — число спортсменов, занимающихся обоими видами спорта \( H \) и \( L \)

Поскольку каждый спортсмен занимается ровно двумя видами спорта, то:

• Количество спортсменов, занимающихся только двумя видами спорта: \[ x + y + z \]

Каждый спортсмен учитывается ровно один раз в пересечениях и не занимается более двух видов.

Шаг 2. Связь между количеством спортсменов и пересечениями

Общий счет по каждому виду спорта:

• \( G = 18 \) — включает в себя тех, кто занимается \( G \) и \( H \) (то есть \( x \)), и тех, кто занимается \( G \) и \( L \) (то есть \( y \)). Тогда:

\[ G = x + y = 18 \]

• \( H = 20 \):

\[ H = x + z = 20 \]

• \( L = 16 \):

\[ L = y + z = 16 \]

Шаг 3. Получение системы уравнений

Таким образом, есть три уравнения:

1. \( x + y = 18 \)
2. \( x + z = 20 \)
3. \( y + z = 16 \)

Шаг 4. Решение системы

Из уравнений:

• Из уравнения \( 1 \): \( y = 18 - x \)
• Из уравнения \( 2 \): \( z = 20 - x \)

Подставим эти выражения в уравнение \( 3 \):

\[ (18 - x) + (20 - x) = 16 \]

Решаем уравнение:

\[ 18 - x + 20 - x = 16 \] \[ 38 - 2x = 16 \] \[ 2x = 38 - 16 = 22 \] \[ x = 11 \]

Теперь используем значение \( x \) для нахождения \( y \) и \( z \):

\[ y = 18 - x = 18 - 11 = 7 \] \[ z = 20 - x = 20 - 11 = 9 \]

Шаг 5. Подсчет общего количества спортсменов

Общее число спортсменов — это сумма всех, кто занимается ровно двумя видами спорта:

\[ \boxed{ \text{Всего} = x + y + z = 11 + 7 + 9 = 27 } \]

Ответ: В классе 27 спортсменов.

Если нужны дополнительные объяснения или проверки — скажите!