Давайте внимательно разберем задачу и решим ее шаг за шагом.
Дано:
- Общее количество спортсменов:
- занимающихся греблей: ( G = 18 )
- занимающихся гандболом: ( H = 20 )
- занимающихся горными лыжами: ( L = 16 )
- Каждый спортсмен занимается ровно двумя видами спорта.
Задача: Определить общее число спортсменов.
Шаг 1. Введение обозначений для пересечений
Обозначим:
- ( x ) — число спортсменов, занимающихся обоими видами спорта ( G ) и ( H )
- ( y ) — число спортсменов, занимающихся обоими видами спорта ( G ) и ( L )
- ( z ) — число спортсменов, занимающихся обоими видами спорта ( H ) и ( L )
Поскольку каждый спортсмен занимается ровно двумя видами спорта, то:
- Количество спортсменов, занимающихся только двумя видами спорта:
[
x + y + z
]
Каждый спортсмен учитывается ровно один раз в пересечениях и не занимается более двух видов.
Шаг 2. Связь между количеством спортсменов и пересечениями
Общий счет по каждому виду спорта:
- ( G = 18 ) — включает в себя тех, кто занимается ( G ) и ( H ) (то есть ( x )), и тех, кто занимается ( G ) и ( L ) (то есть ( y )). Тогда:
[
G = x + y = 18
]
[
H = x + z = 20
]
[
L = y + z = 16
]
Шаг 3. Получение системы уравнений
Таким образом, есть три уравнения:
- ( x + y = 18 )
- ( x + z = 20 )
- ( y + z = 16 )
Шаг 4. Решение системы
Из уравнений:
- Из уравнения ( 1 ): ( y = 18 - x )
- Из уравнения ( 2 ): ( z = 20 - x )
Подставим эти выражения в уравнение ( 3 ):
[
(18 - x) + (20 - x) = 16
]
Решаем уравнение:
[
18 - x + 20 - x = 16
]
[
38 - 2x = 16
]
[
2x = 38 - 16 = 22
]
[
x = 11
]
Теперь используем значение ( x ) для нахождения ( y ) и ( z ):
[
y = 18 - x = 18 - 11 = 7
]
[
z = 20 - x = 20 - 11 = 9
]
Шаг 5. Подсчет общего количества спортсменов
Общее число спортсменов — это сумма всех, кто занимается ровно двумя видами спорта:
[
\boxed{
\text{Всего} = x + y + z = 11 + 7 + 9 = 27
}
]
Ответ: В классе 27 спортсменов.
Если нужны дополнительные объяснения или проверки — скажите!
