Дан параллелограмм ABCD , в котором m(<A) = 60 градусов ,AB=4 см , BD =2√7 . Найдите площадь параллелограмма ABCD
Давайте по шагам решим задачу и найдём площадь параллелограмма \(ABCD\), где:
- \(\angle A = 60^\circ\),
- \(AB = 4 \text{ см}\),
- \(BD = 2\sqrt{7}\).
Шаг 1: обозначения и свойства параллелограмма
В параллелограмме:
- противолежащие стороны равны: \(AB = DC\), \(AD = BC\).
- диагонали пересекаются и делятся пополам.
- Важное свойство: сумма внутренних углов равна \(360^\circ\), и диагонали делят друг друга.
Нам нужно найти площадь. Обычно площадь параллелограмма можно найти через основание и высоту или через две стороны и угол между ними. В данном случае, у нас есть угол при вершине \(A\) и длины сторон и диагонали.
Шаг 2: определение сторон и углов
В нашем случае:
- \(AB = 4\text{ см}\),
- \(\angle A = 60^\circ\),
- диагональ \(BD = 2\sqrt{7}\).
Обозначим точку \(A\) как начало координат и расположим параллелограмм так, чтобы сторону \(AB\) лежала на оси \(x\).
Пусть:
- \(A = (0, 0)\),
- \(B = (4, 0)\) (поскольку \(AB=4\)),
- вершина \(D\) находится по какому-то вектору \(\vec{AD}\), а вершина \(C\)—по вектору \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\).
Шаг 3: определение координат остальных точек
Поскольку угол при \(A\) равен \(60^\circ\), и \(AB\) — горизонтальная линия, то:
- Вектор \(\vec{AB}\) направлен по оси \(x\) и равен \((4,0)\).
Чтобы найти точку \(D\), используем угол \(\angle A = 60^\circ\), и сторону \(AD\), которую можно обозначить как вектор \(\vec{AD}\) с длиной \(AD\), которую пока пометим как \(d\).
Пусть \(\vec{AD}\) образует с осью \(x\) угол \(60^\circ\). Тогда:
\[ \vec{AD} = d(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = d\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]
Координаты точки \(D\):
\[ D = (0,0) + \vec{AD} = \left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d\right). \]
Шаг 4: координаты точки \(C\)
Точка \(C\) — это сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{AD}\):
\[ C = B + \vec{AD} = (4, 0) + \left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right) = \left(4 + \frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right). \]
Шаг 5: использование диагонали \(BD\)
Диагональ \(BD\) идёт от точки \(B(4,0)\) к \(D\left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right)\).
Длина диагонали \(BD\):
\[ BD = \sqrt{\left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}d - 0 \right)^2 }. \]
Дано:
\[ BD = 2\sqrt{7}. \]
Подставим:
\[ 2\sqrt{7} = \sqrt{\left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}d \right)^2 }. \]
Возьмём квадрат обеих частей:
\[ (2\sqrt{7})^2 = \left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} d\right)^2, \]
\[ 4 \times 7 = \left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \frac{3}{4} d^2, \]
\[ 28 = \left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \frac{3}{4}d^2. \]
Рассмотрим подробно:
\[ \left(\frac{d}{2} - 4 \right)^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{d}{2} \times 4 + 16 = \frac{d^2}{4} - 4d + 16. \]
Подставим:
\[ 28 = \frac{d^2}{4} - 4d + 16 + \frac{3}{4} d^2. \]
Объединим подобные члены:
\[ 28 = \left(\frac{d^2}{4} + \frac{3}{4} d^2 \right) - 4d + 16, \]
\[ 28 = \left(\frac{d^2 + 3d^2}{4} \right) - 4d + 16, \]
\[ 28 = \frac{4 d^2}{4} - 4d + 16, \]
\[ 28 = d^2 - 4d + 16. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ d^2 - 4d + 16 - 28 = 0, \]
\[ d^2 - 4d - 12 = 0. \]
Шаг 6: решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
\[ d^2 - 4d - 12 = 0. \]
Решим it:
\[ d = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}. \]
Два решения:
\[ d = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6, \] \[ d = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2. \]
Длина не может быть отрицательной, значит \(d = 6\text{ см}\).
Шаг 7: нахождение площади
Площадь параллелограмма:
\[ S = |\vec{AB} \times \vec{AD}|. \]
Векторы:
\[ \vec{AB} = (4, 0), \] \[ \vec{AD} = \left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} d \right) = (3, 3\sqrt{3}), \] так как \(d=6\).
Площадь векторного произведения (на плоскости):
\[ S = |x_1 y_2 - y_1 x_2| = |4 \times 3\sqrt{3} - 0 \times 3| = |12\sqrt{3}| = 12\sqrt{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь параллелограмма } ABCD \text{ равна } 12\sqrt{3} \text{ см}^2. } \]
