Дан параллелограмм ABCD , в котором m(

Давайте по шагам решим задачу и найдём площадь параллелограмма \(ABCD\), где: - \(\angle A = 60^\circ\), - \(AB = 4 \text{ см}\), - \(BD = 2\sqrt{7}\). ### Шаг 1: обозначения и свойства параллелограмма В параллелограмме: - противолежащие стороны равны: \(AB = DC\), \(AD = BC\). - диагонали пересекаются и делятся пополам. - Важное свойство: сумма внутренних углов равна \(360^\circ\), и диагонали делят друг друга. Нам нужно найти площадь. Обычно площадь параллелограмма можно найти через основание и высоту или через две стороны и угол между ними. В данном случае, у нас есть угол при вершине \(A\) и длины сторон и диагонали. --- ### Шаг 2: определение сторон и углов В нашем случае: - \(AB = 4\text{ см}\), - \(\angle A = 60^\circ\), - диагональ \(BD = 2\sqrt{7}\). Обозначим точку \(A\) как начало координат и расположим параллелограмм так, чтобы сторону \(AB\) лежала на оси \(x\). Пусть: - \(A = (0, 0)\), - \(B = (4, 0)\) (поскольку \(AB=4\)), - вершина \(D\) находится по какому-то вектору \(\vec{AD}\), а вершина \(C\)—по вектору \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\). --- ### Шаг 3: определение координат остальных точек Поскольку угол при \(A\) равен \(60^\circ\), и \(AB\) — горизонтальная линия, то: - Вектор \(\vec{AB}\) направлен по оси \(x\) и равен \((4,0)\). Чтобы найти точку \(D\), используем угол \(\angle A = 60^\circ\), и сторону \(AD\), которую можно обозначить как вектор \(\vec{AD}\) с длиной \(AD\), которую пока пометим как \(d\). Пусть \(\vec{AD}\) образует с осью \(x\) угол \(60^\circ\). Тогда: \[ \vec{AD} = d(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = d\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \] Координаты точки \(D\): \[ D = (0,0) + \vec{AD} = \left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d\right). \] --- ### Шаг 4: координаты точки \(C\) Точка \(C\) — это сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{AD}\): \[ C = B + \vec{AD} = (4, 0) + \left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right) = \left(4 + \frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right). \] --- ### Шаг 5: использование диагонали \(BD\) Диагональ \(BD\) идёт от точки \(B(4,0)\) к \(D\left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right)\). Длина диагонали \(BD\): \[ BD = \sqrt{\left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}d - 0 \right)^2 }. \] Дано: \[ BD = 2\sqrt{7}. \] Подставим: \[ 2\sqrt{7} = \sqrt{\left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}d \right)^2 }. \] Возьмём квадрат обеих частей: \[ (2\sqrt{7})^2 = \left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} d\right)^2, \] \[ 4 \times 7 = \left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \frac{3}{4} d^2, \] \[ 28 = \left(\frac{d}{2} - 4\right)^2 + \frac{3}{4}d^2. \] Рассмотрим подробно: \[ \left(\frac{d}{2} - 4 \right)^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{d}{2} \times 4 + 16 = \frac{d^2}{4} - 4d + 16. \] Подставим: \[ 28 = \frac{d^2}{4} - 4d + 16 + \frac{3}{4} d^2. \] Объединим подобные члены: \[ 28 = \left(\frac{d^2}{4} + \frac{3}{4} d^2 \right) - 4d + 16, \] \[ 28 = \left(\frac{d^2 + 3d^2}{4} \right) - 4d + 16, \] \[ 28 = \frac{4 d^2}{4} - 4d + 16, \] \[ 28 = d^2 - 4d + 16. \] Переносим всё в одну сторону: \[ d^2 - 4d + 16 - 28 = 0, \] \[ d^2 - 4d - 12 = 0. \] --- ### Шаг 6: решение квадратного уравнения Квадратное уравнение: \[ d^2 - 4d - 12 = 0. \] Решим it: \[ d = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}. \] Два решения: \[ d = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6, \] \[ d = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2. \] Длина не может быть отрицательной, значит \(d = 6\text{ см}\). --- ### Шаг 7: нахождение площади Площадь параллелограмма: \[ S = |\vec{AB} \times \vec{AD}|. \] Векторы: \[ \vec{AB} = (4, 0), \] \[ \vec{AD} = \left(\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} d \right) = (3, 3\sqrt{3}), \] так как \(d=6\). Площадь векторного произведения (на плоскости): \[ S = |x_1 y_2 - y_1 x_2| = |4 \times 3\sqrt{3} - 0 \times 3| = |12\sqrt{3}| = 12\sqrt{3}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь параллелограмма } ABCD \text{ равна } 12\sqrt{3} \text{ см}^2. } \]