Давайте разберемся с задачей пошагово.
Задача:
Стандартная нормальная случайная величина ( Z ). Нужно найти правильную формулу для преобразования ( Z ) в случайную величину ( X ), если даны параметры: ( a=6 ) и ( \sigma^2=9 ).
Что такое преобразование стандартной нормальной случайной величины?
Стандартная нормальная случайная величина ( Z ) имеет параметры:
- математическое ожидание ( \mathbb{E}[Z] = 0 ),
- дисперсию ( \operatorname{Var}(Z) = 1 ).
Если нам нужно получить новую случайную величину ( X ), которая будет иметь свое значение в зависимости от ( Z ), то обычно используют линейное преобразование:
[
X = a + bZ
]
где:
- ( a ) — смещение (сдвиг по оси),
- ( b ) — масштаб.
Как определить параметры ( a ) и ( b )?
Если ( Z \sim N(0, 1) ), то:
- ( \mathbb{E}[X] = a + b \cdot \mathbb{E}[Z] = a ),
- ( \operatorname{Var}(X) = b^2 \cdá \operatorname{Var}(Z) = b^2 ).
Требуемое для ( X ) — параметры:
[
\mathbb{E}[X] = a, \quad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2
]
Дифференцируем:
[
a = \text{среднее значение } X
]
[
b^2 = \sigma^2
]
Из условия задачи:
[
a = 6, \quad \sigma^2 = 9
]
Следовательно:
[
b = \sqrt{9} = 3
]
Итоговая формула:
[
\boxed{
X = a + bZ = 6 + 3Z
}
]
Проверка вариантов:
- (X=6+9Z) — здесь коэффициент перед ( Z ) равен 9, что не совпадает с ( \sigma = 3 ). Значит, этот вариант неверен.
- (X=6+3Z) — подходит, так как ( b=3 ).
- (X=9+6Z) — коэффициент перед ( Z ) равен 6, а ( a=9 ), что не соответствует заданным параметрам.
Ответ:
Правильная формула:
[
\boxed{
X = 6 + 3Z
}
]
Если требуется объяснение, то заключение таково: чтобы преобразовать стандартную нормальную величину ( Z ) в нормальную с параметрами ( a=6 ), ( \sigma^2=9 ), мы используем формулу ( X = a + \sigma Z = 6 + 3Z ).
Если есть еще вопросы — обращайтесь!
