Пусть у вас есть стандартная нормальная случайная величина Z. Выберите правильную формулу для преобразования случайной величины Z в случайную величину X с параметрами a=6,σ 2 =9.…

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Задача:
Стандартная нормальная случайная величина \( Z \). Нужно найти правильную формулу для преобразования \( Z \) в случайную величину \( X \), если даны параметры: \( a=6 \) и \( \sigma^2=9 \).

Что такое преобразование стандартной нормальной случайной величины?

Стандартная нормальная случайная величина \( Z \) имеет параметры:

• математическое ожидание \( \mathbb{E}[Z] = 0 \),
• дисперсию \( \operatorname{Var}(Z) = 1 \).

Если нам нужно получить новую случайную величину \( X \), которая будет иметь свое значение в зависимости от \( Z \), то обычно используют линейное преобразование:

\[ X = a + bZ \]

где:

• \( a \) — смещение (сдвиг по оси),
• \( b \) — масштаб.

Как определить параметры \( a \) и \( b \)?

Если \( Z \sim N(0, 1) \), то:

• \( \mathbb{E}[X] = a + b \cdot \mathbb{E}[Z] = a \),
• \( \operatorname{Var}(X) = b^2 \cdá \operatorname{Var}(Z) = b^2 \).

Требуемое для \( X \) — параметры:

\[ \mathbb{E}[X] = a, \quad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 \]

Дифференцируем:

\[ a = \text{среднее значение } X \] \[ b^2 = \sigma^2 \]

Из условия задачи:

\[ a = 6, \quad \sigma^2 = 9 \]

Следовательно:

\[ b = \sqrt{9} = 3 \]

Итоговая формула:

\[ \boxed{ X = a + bZ = 6 + 3Z } \]

Проверка вариантов:

• \(X=6+9Z\) — здесь коэффициент перед \( Z \) равен 9, что не совпадает с \( \sigma = 3 \). Значит, этот вариант неверен.
• \(X=6+3Z\) — подходит, так как \( b=3 \).
• \(X=9+6Z\) — коэффициент перед \( Z \) равен 6, а \( a=9 \), что не соответствует заданным параметрам.

Ответ:

Правильная формула:

\[ \boxed{ X = 6 + 3Z } \]

Если требуется объяснение, то заключение таково: чтобы преобразовать стандартную нормальную величину \( Z \) в нормальную с параметрами \( a=6 \), \( \sigma^2=9 \), мы используем формулу \( X = a + \sigma Z = 6 + 3Z \).

Если есть еще вопросы — обращайтесь!