Чтобы найти первообразную функцию ( F(x) ) для данной функции ( f(x) = \sqrt[3]{(x-1)^2} ), нужно выполнить интегрирование.
Шаг 1: Перепишем функцию в более удобном виде
[
f(x) = \sqrt[3]{(x-1)^2} = ((x-1)^2)^{1/3} = (x-1)^{2/3}
]
Итак, задача: найти функцию ( F(x) ), такую что
[
F'(x) = (x-1)^{2/3}
]
Шаг 2: Используем правило интегрирования
Общий вид: если ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ), при условии, что ( n \neq -1 ).
В нашей задаче, функция — ( (x-1)^{2/3} ). Здесь, чтобы найти первообразную, можно применить замену переменной.
Шаг 3: Замена переменной
Пусть ( t = x - 1 ). Тогда ( dt = dx ), и
[
F(x) = \int (x-1)^{2/3} dx = \int t^{2/3} dt
]
Исключительно для поиска первообразной функции.
Шаг 4: Интегрируем
[
\int t^{2/3} dt = \frac{t^{(2/3)+1}}{(2/3)+1} + C = \frac{t^{5/3}}{5/3} + C
]
Обратим дробь:
[
\frac{t^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} t^{5/3} + C
]
Вернемся к переменной ( x ):
[
F(x) = \frac{3}{5} (x-1)^{5/3} + C
]
Ответ:
[
\boxed{
F(x) = \frac{3}{5} (x-1)^{5/3} + C
}
]
Это — первообразная для ( f(x) = \sqrt[3]{(x-1)^2} ).
