найти первообразные функции

Чтобы найти первообразную функцию \( F(x) \) для данной функции \( f(x) = \sqrt[3]{(x-1)^2} \), нужно выполнить интегрирование.

Шаг 1: Перепишем функцию в более удобном виде

\[ f(x) = \sqrt[3]{(x-1)^2} = ((x-1)^2)^{1/3} = (x-1)^{2/3} \]

Итак, задача: найти функцию \( F(x) \), такую что

\[ F'(x) = (x-1)^{2/3} \]

Шаг 2: Используем правило интегрирования

Общий вид: если \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), при условии, что \( n \neq -1 \).

В нашей задаче, функция — \( (x-1)^{2/3} \). Здесь, чтобы найти первообразную, можно применить замену переменной.

Шаг 3: Замена переменной

Пусть \( t = x - 1 \). Тогда \( dt = dx \), и

\[ F(x) = \int (x-1)^{2/3} dx = \int t^{2/3} dt \]

Исключительно для поиска первообразной функции.

Шаг 4: Интегрируем

\[ \int t^{2/3} dt = \frac{t^{(2/3)+1}}{(2/3)+1} + C = \frac{t^{5/3}}{5/3} + C \]

Обратим дробь:

\[ \frac{t^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} t^{5/3} + C \]

Вернемся к переменной \( x \):

\[ F(x) = \frac{3}{5} (x-1)^{5/3} + C \]

Ответ:

\[ \boxed{ F(x) = \frac{3}{5} (x-1)^{5/3} + C } \]

Это — первообразная для \( f(x) = \sqrt[3]{(x-1)^2} \).