.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
\[
\frac{5 \cotg \left( \alpha + \frac{7\pi}{2} \right)}{4 \tg (\alpha + 3\pi)}
\]
при \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \).
Шаг 1: Упростить выражения внутри функций
Обратим внимание, что триггонометрические функции \( \cotg \) и \( \tg \) обладают свойствами периодичности:
- \( \tg (\theta + \pi) = \tg \theta \)
- \( \cotg (\theta + \pi) = \cotg \theta \)
Также стоит учитывать, что при добавлении какой-либо кратности \( \pi \) или \( 2\pi \) функции могут принимать одинаковые значения.
Шаг 2: Упростить \( \cotg \left( \alpha + \frac{7\pi}{2} \right) \)
Запишем:
\[ \alpha + \frac{7\pi}{2} \]
Подставим \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \):
\[ \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{2} \]
Общий знаменатель — 4:
\[ \frac{5\pi}{4} + \frac{14\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} \]
По свойствам тригонометрических функций, добавление или вычитание \( 2\pi \), \( \pi \) способствует упрощению:
- \( \cotg (\theta + 2\pi) = \cotg \theta \)
- \( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \)
Рассмотрим:
\[ \frac{19\pi}{4} - 2\pi = \frac{19\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \]
Тогда:
\[ \cotg \left( \frac{19\pi}{4} \right) = \cotg \left( \frac{11\pi}{4} \right) \]
Далее, вычитаем ещё \( 2\pi \):
\[ \frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]
Итак:
\[ \cotg \left( \frac{19\pi}{4} \right) = \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) \]
Шаг 3: Упростить \( \tg (\alpha + 3\pi) \)
Подставляем \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \):
\[ \frac{5\pi}{4} + 3\pi \]
Но \( 3\pi = \frac{12\pi}{4} \), значит:
\[ \frac{5\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} \]
Далее, \( \tg (\theta + 2\pi) = \tg \theta \), поэтому:
\[ \tg \left( \frac{17\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{17\pi}{4} - 2\pi \right) \]
\( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \):
\[ \frac{17\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \]
Опять вычитаем \( 2\pi \):
\[ \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]
Обратим внимание, что \( \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \), так как \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).
Итак:
\[ \tg \left( \frac{17\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]
Шаг 4: Найти значение \( \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) \)
Из известных значений:
\[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]
(или, более точно, \( \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \), так как:
\[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) = -1 \]
необходимо уточнить)
примем:
\[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \]
Поскольку:
\[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \]
Шаг 5: Подставить полученные значения в исходное выражение
Запомним:
\[ \cotg \left( \alpha + \frac{7\pi}{2} \right) = \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \] \[ \tg (\alpha + 3\pi) = \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]
Теперь выражение:
\[ \frac{5 \cdot (-1)}{4 \cdot 1} = \frac{-5}{4} \]
Ответ:
\[ \boxed{-\frac{5}{4}} \]
Если есть еще вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то этап, скажите!
