.

Давайте решим задачу шаг за шагом. Дано: \[ \frac{5 \cotg \left( \alpha + \frac{7\pi}{2} \right)}{4 \tg (\alpha + 3\pi)} \] при \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \). --- ### Шаг 1: Упростить выражения внутри функций Обратим внимание, что триггонометрические функции \( \cotg \) и \( \tg \) обладают свойствами периодичности: - \( \tg (\theta + \pi) = \tg \theta \) - \( \cotg (\theta + \pi) = \cotg \theta \) Также стоит учитывать, что при добавлении какой-либо кратности \( \pi \) или \( 2\pi \) функции могут принимать одинаковые значения. --- ### Шаг 2: Упростить \( \cotg \left( \alpha + \frac{7\pi}{2} \right) \) Запишем: \[ \alpha + \frac{7\pi}{2} \] Подставим \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \): \[ \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{2} \] Общий знаменатель — 4: \[ \frac{5\pi}{4} + \frac{14\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} \] По свойствам тригонометрических функций, добавление или вычитание \( 2\pi \), \( \pi \) способствует упрощению: - \( \cotg (\theta + 2\pi) = \cotg \theta \) - \( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \) Рассмотрим: \[ \frac{19\pi}{4} - 2\pi = \frac{19\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \] Тогда: \[ \cotg \left( \frac{19\pi}{4} \right) = \cotg \left( \frac{11\pi}{4} \right) \] Далее, вычитаем ещё \( 2\pi \): \[ \frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] Итак: \[ \cotg \left( \frac{19\pi}{4} \right) = \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) \] --- ### Шаг 3: Упростить \( \tg (\alpha + 3\pi) \) Подставляем \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \): \[ \frac{5\pi}{4} + 3\pi \] Но \( 3\pi = \frac{12\pi}{4} \), значит: \[ \frac{5\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} \] Далее, \( \tg (\theta + 2\pi) = \tg \theta \), поэтому: \[ \tg \left( \frac{17\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{17\pi}{4} - 2\pi \right) \] \( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \): \[ \frac{17\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \] Опять вычитаем \( 2\pi \): \[ \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \] Обратим внимание, что \( \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \), так как \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \). Итак: \[ \tg \left( \frac{17\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] --- ### Шаг 4: Найти значение \( \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) \) Из известных значений: \[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] (или, более точно, \( \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \), так как: \[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \right) = -1 \] необходимо уточнить) примем: \[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \] Поскольку: \[ \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \] --- ### Шаг 5: Подставить полученные значения в исходное выражение Запомним: \[ \cotg \left( \alpha + \frac{7\pi}{2} \right) = \cotg \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 \] \[ \tg (\alpha + 3\pi) = \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] Теперь выражение: \[ \frac{5 \cdot (-1)}{4 \cdot 1} = \frac{-5}{4} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{-\frac{5}{4}} \] Если есть еще вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то этап, скажите!