Плотность идеального газа увеличивают в 15,21 раза при постоянном давлении. Во сколько раз при этом уменьшается среднеквадратичная скорость движения молекул газа?
Давайте разберёмся с этой задачей пошагово.
Дано:
- Плотность идеального газа увеличивается в 15,21 раза.
- Давление при этом постоянное.
Нам нужно:
- Определить, во сколько раз уменьшается среднеквадратичная скорость молекул при этом.
Шаг 1. Формула для плотности идеального газа
Плотность газа (ρ) связана с его молекулярной массой (M), давлением (P), температурой (T) и универсальной постоянной (R) так:
\[ \rho = \frac{PM}{RT} \]
Поскольку давление и температура постоянны, то:
\[ \rho \propto M \]
Это означает, что при постоянных P и T увеличение плотности в 15,21 раза соответствует увеличению молекулярной массы также в 15,21 раза.
Шаг 2. Связь скорости молекул с температурой
Среднеквадратичная скорость молекул \(v_{rms}\) связана с температурой через формулу:
\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \]
Здесь:
- \(R\) — универсальная газовая постоянная,
- \(T\) — температура,
- \(M\) — молекулярная масса в килограммах на моль.
Шаг 3. Анализ изменений
- Температура \(T\) и давление \(P\) остаются постоянными.
- Молекулярная масса увеличивается в 15,21 раза: \(M_{нов} = 15,21 \times M_{исх}\).
Подставим в формулу для новой скорости:
\[ v_{rms,_new} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{new}}} \]
Так как \(M_{new} = 15,21 \times M_{исх}\), то:
\[ v_{rms,_new} = \sqrt{\frac{3RT}{15,21 M_{исх}}} = \frac{1}{\sqrt{15,21}} \times \sqrt{\frac{3RT}{M_{исх}}} \]
Но \(\sqrt{\frac{3RT}{M_{исх}}}\) — это исходная среднеквадратичная скорость \(v_{rms,исх}\).
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Новая } v_{rms} = \frac{v_{rms,исх}}{\sqrt{15,21}} } \]
То есть скорость уменьшается в корень из 15,21 раз.
Посчитаем приблизительно:
\[ \sqrt{15,21} \approx 3,898 \]
ИТОГ:
Среднеквадратичная скорость движения молекул газа уменьшится примерно в 3,9 раза.
