Давайте разберёмся с этой задачей пошагово.
Дано:
- Плотность идеального газа увеличивается в 15,21 раза.
- Давление при этом постоянное.
Нам нужно:
- Определить, во сколько раз уменьшается среднеквадратичная скорость молекул при этом.
Шаг 1. Формула для плотности идеального газа
Плотность газа (ρ) связана с его молекулярной массой (M), давлением (P), температурой (T) и универсальной постоянной (R) так:
[
\rho = \frac{PM}{RT}
]
Поскольку давление и температура постоянны, то:
[
\rho \propto M
]
Это означает, что при постоянных P и T увеличение плотности в 15,21 раза соответствует увеличению молекулярной массы также в 15,21 раза.
Шаг 2. Связь скорости молекул с температурой
Среднеквадратичная скорость молекул (v_{rms}) связана с температурой через формулу:
[
v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}
]
Здесь:
- (R) — универсальная газовая постоянная,
- (T) — температура,
- (M) — молекулярная масса в килограммах на моль.
Шаг 3. Анализ изменений
- Температура (T) и давление (P) остаются постоянными.
- Молекулярная масса увеличивается в 15,21 раза: (M_{нов} = 15,21 \times M_{исх}).
Подставим в формулу для новой скорости:
[
v_{rms,new} = \sqrt{\frac{3RT}{M{new}}}
]
Так как (M_{new} = 15,21 \times M_{исх}), то:
[
v_{rms,new} = \sqrt{\frac{3RT}{15,21 M{исх}}} = \frac{1}{\sqrt{15,21}} \times \sqrt{\frac{3RT}{M_{исх}}}
]
Но (\sqrt{\frac{3RT}{M_{исх}}}) — это исходная среднеквадратичная скорость (v_{rms,исх}).
Ответ:
[
\boxed{
\text{Новая } v_{rms} = \frac{v_{rms,исх}}{\sqrt{15,21}}
}
]
То есть скорость уменьшается в корень из 15,21 раз.
Посчитаем приблизительно:
[
\sqrt{15,21} \approx 3,898
]
ИТОГ:
Среднеквадратичная скорость движения молекул газа уменьшится примерно в 3,9 раза.
