Подготовка к устному зачету по геометрии 8 класс 1. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника.. 2. Признаки равенства треугольников. 3. Определение параллелограмм. 4. Свойства…
Подготовка к устному зачету по геометрии 8 класс 1. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника.. 2. Признаки равенства треугольников. 3. Определение параллелограмм. 4. Свойства параллелограмма 5. Признаки параллелограмма 6. Признаки подобия треугольников. 7. Определение трапеции. Виды трапеций. 8. Теорема о средней линии трапеции. 9. Теорема о средней линии треугольника. 10. Свойство точки пересечения медиан треугольника. 11. Определение прямоугольника. 12. Свойства прямоугольника. 13. Признаки прямоугольника 14. Определение квадрата. Свойства квадрата 15. Определение ромба. 16. Свойства ромба. 17. Теорема о площади прямоугольника. 18. Теорема Фалеса 19. Определение пропорциональных отрезков 20. Теорема Пифагора 21. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. 22. Формула Герона 23. Площадь прямоугольного треугольника. 24. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника 25. Теорема о двух пересекающихся хордах 26. Определение центрального угла в окружности 27. Определение вписанного угла в окружности 28. Свойство вписанных углов в окружность. 29. Свойство точки пересечения медиан треугольника 30. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки 31. Теорема о касательной к окружности. 32. Теорема о касательной и секущей. 33. Определение касательной к окружности. 34. Свойство вписанного четырехугольника 35. Свойство описанного четырехугольника 36. Доказать, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны. 37. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 38. Доказать 1 признак параллелограмма (про параллельность сторон) 39. Доказать 2 признак параллелограмма (про равенство сторон) 40. Доказать признак параллелограмма (про диагонали) 41. Доказать, что диагонали прямоугольника равны. 42. Доказать теорему о площади параллелограмма 43. Доказать теорему о площади треугольника 44. Доказать теорему о площади трапеции 45. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. ответить на каждый пункт
Конечно! Ниже приведены подробные объяснения и решения по каждому из перечисленных пунктов по геометрии 8 класса, ориентированные на подготовку к устному зачету:
1. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника
Утверждение: В выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна \((n-2) \times 180^\circ\).
Обоснование: Каждый внутренний угол — это сумма двух смежных внешних углов; для разбиения многоугольника на \((n-2)\) треугольника, сумма углов этих треугольников равна \((n-2) \times 180^\circ\).
2. Признаки равенства треугольников
Основные признаки:
- Признак по стороне и двум прилежащим углам (ССУ): Если две стороны и угол между ними равны у двух треугольников.
- Признак по стороне и двум прилежащим к ней углам (ССС): Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого.
- Признак по двум сторонам и углу между ними (ССУ): Равенство двух треугольников по двум сторонам и углу между ними.
3. Определение параллелограмма
Это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллель.
4. Свойства параллелограмма
- Противоположные стороны равны и параллельны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали пересекаются и делятся пополам.
- Сумма углов равна \(360^\circ\).
5. Признаки параллелограмма
- 方 Две или более противоположные стороны параллельны.
- 方 Диагонали пересекаются и делятся пополам.
- 方 Противоположные углы равны.
6. Признаки подобия треугольников
- По двум углам (углы равны и третий — также равен).
- По стороне и двум прилежащим к ней углам (удобно при работе с подобием).
- По трем пропорциональным сторонам и равенству между углами.
7. Определение трапеции, виды трапеций
Трапеция: это четырехугольник, у которого хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна.
Виды:
- Обычная трапеция: одна пара параллельных сторон.
- Параллелограмм: обе пары параллельны.
- Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны.
8. Теорема о средней линии трапеции
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема: эта линия параллельна основаниям и равна их полусумме:
\[ \text{средняя линия} = \frac{a + b}{2} \].
9. Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон.
Теорема: она параллельна третьей стороне и равна половине её:
\[ \text{средняя линия} = \frac{1}{2} \times \text{третья сторона} \].
10. Свойство точки пересечения медиан треугольника
Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины к середине основания.
Это свойство используется при вычислении центра масс треугольника.
11. Определение прямоугольника
Это параллелограмм с одним углом, равным \(90^\circ\).
12. Свойства прямоугольника
- Все углы — прямые.
- Диагонали равны и пересекаются под прямым углом, делясь пополам.
- Противоположные стороны равны.
13. Признаки прямоугольника
- Диагонали равны и пересекаются под прямым углом.
- Один угол — прямой, и противолежащие стороны параллельны.
14. Определение квадрата, свойства
Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами.
Свойства:
- Все углы прямые.
- Все стороны равны.
- Диагонали равны и пересекаются под прямым углом, делясь пополам.
- Диагонали — биссектрисы углов.
15. Определение ромба
Это параллелограмм с равными сторонами.
16. Свойства ромба
- Все стороны равны.
- Диагонали’перпендикулярны и делятся пополам.
- Диагонали — биссектрисы его углов.
17. Теорема о площади прямоугольника
Площадь равна произведению длины и ширины:
\[ S = a \times b \], где \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника.
18. Теорема Фалеса
Если в окружности зафиксировать хорду и провести через её точку, то высоты, проведенные из этой точки, равны. Или: если на одной из сторон треугольника построена точка, делящая её в определённой пропорции, то существуют свойства пропорциональности.
19. Определение пропорциональных отрезков
Два отрезка пропорциональны, если отношение их длины равно:
\[ \frac{AB}{CD} = \frac{EF}{GH} \].
20. Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \].
21. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла
- \(\sin \alpha = \frac{\textотно противоположная сторона}{гипотенуза}\)
- \(\cos \alpha = \frac{\textотно прилежащая сторона}{гипотенуза}\)
- \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\textотное противоположная сторона}{прилежащая}\).
22. Формула Герона
Площадь треугольника через его стороны:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \], где \(p = \frac{a + b + c}{2}\) — полупериметр.
23. Площадь прямоугольного треугольника
\[ S = \frac{1}{2} \times катет_1 \times катет_2 \].
24. Описанная окружность, центр
Это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Ее центр — точка пересечения серединных перпендикуляров.
25. Теорема о двух пересекающихся хордах
Если две хорды пересекаются внутри окружности, произведения сегментов равны:
\[ AE \times EB = CE \times ED \].
26. Определение центрального угла
Это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны — радиусы.
27. Определение вписанного угла
Это угол, вершина которого — точка на окружности, а стороны — chords, содержащие точки окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
28. Свойство вписанных углов
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
29. Свойство точки пересечения медиан
Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1.
30. Свойство отрезков касательных
Из одной точки, касающейся окружности, нельзя провести две разные касательные, образующие равные касательные отрезки.
31. Теорема о касательной
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
32. Теорема о касательной и секущей
Если касательная и секущая пересекаются, то равны соответствующие углы, образованные ими и хордой.
33. Определение касательной
Это прямая, которая касается окружности в одной точке, не пересекает ее внутри.
34. Свойство вписанного четырехугольника
Сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).
35. Свойство описанного четырехугольника
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).
36. Доказательство: в параллелограмме противоположные стороны и углы равны
- За счет параллельности рассмотрим углы и стороны, используя свойства параллелограмма и свойства углов.
37. Диагонали параллелограмма делятся пополам
Доказательство основано на свойствах треугольников, образующихся при пересечении диагоналей.
38. Доказательство признака параллелограмма по сторонам
Если две стороны параллельны и равны, то четырехугольник — параллелограмм.
39. Доказательство по сторонам
Если противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник — параллелограмм.
40. Диагонали в параллелограмме делятся пополам
Доказательство через равенство треугольников, образованных при пересечении диагоналей.
41. Диагонали прямоугольника равны
Это свойство вытекает из определения прямоугольника и свойств диагоналей параллелограмма.
42. Теорема о площади параллелограмма
Площадь равна произведению основания на высоту:
\[ S = a \times h \].
43. Теорема о площади треугольника
Площадь = \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).
44. Теорема о площади трапеции
\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \], где \(a, b\) — основания, \(h\) — высота.
45. Средняя линия треугольника
Параллельна основанию и равна половине его длины.
Если нужно, я могу подготовить более подробные объяснения или решить конкретные задачи.
