Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Условия задачи:
- В контрольной работе 5 задач.
- В каждой задаче по 4 варианта ответа.
- Ваня отвечает наугад, случайным образом выбирая ответы.
- Ему нужно решить хотя бы 2 задачи правильно, чтобы не пойти на пересдачу.
- Вероятность правильного ответа в одной задаче: ( p = \frac{1}{4} ).
- Найти вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, то есть решит хотя бы 2 задачи правильно.
Шаг 1: Определим случайную величину
Обозначим:
- ( X ) — число правильно решённых задач.
- ( X \sim \text{Бином}(n=5, p=\frac{1}{4}) ).
Нас интересует вероятность:
[
P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5).
]
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Для вычисления вероятностей используется формула:
[
P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
]
Подставим параметры:
[
n=5, \quad p=\frac{1}{4}, \quad 1-p=\frac{3}{4}.
]
Шаг 3: Вычислим вероятности для (k=2,3,4,5).
Для (k=2):
[
P(X=2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^3
= 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = 10 \times \frac{27}{1024} = \frac{270}{1024} \approx 0.2637.
]
Для (k=3):
[
P(X=3) = \binom{5}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^2
= 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} = 10 \times \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} \approx 0.0879.
]
Для (k=4):
[
P(X=4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^1
= 5 \times \frac{1}{256} \times \frac{3}{4} = 5 \times \frac{3}{1024} = \frac{15}{1024} \approx 0.0146.
]
Для (k=5):
[
P(X=5) = \binom{5}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^0
= 1 \times \frac{1}{1024} \times 1 = \frac{1}{1024} \approx 0.00098.
]
Шаг 4: Находим сумму вероятностей
[
P(X \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \approx 0.2637 + 0.0879 + 0.0146 + 0.00098.
]
Выполним сложение:
[
0.2637 + 0.0879 = 0.3516,
]
[
0.3516 + 0.0146 = 0.3662,
]
[
0.3662 + 0.00098 \approx 0.3672.
]
Итог:
Вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, примерно равна (\boxed{0.37}).
Ответ — 0.37 (округлено до сотых).
