В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня…
В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит p = 1 4 p= 4 1 . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу? Запиши в поле ответа верное число, округлив его до сотых.
Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Условия задачи:
- В контрольной работе 5 задач.
- В каждой задаче по 4 варианта ответа.
- Ваня отвечает наугад, случайным образом выбирая ответы.
- Ему нужно решить хотя бы 2 задачи правильно, чтобы не пойти на пересдачу.
- Вероятность правильного ответа в одной задаче: \( p = \frac{1}{4} \).
- Найти вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, то есть решит хотя бы 2 задачи правильно.
Шаг 1: Определим случайную величину
Обозначим:
- \( X \) — число правильно решённых задач.
- \( X \sim \text{Бином}(n=5, p=\frac{1}{4}) \).
Нас интересует вероятность: \[ P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5). \]
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Для вычисления вероятностей используется формула: \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}. \]
Подставим параметры: \[ n=5, \quad p=\frac{1}{4}, \quad 1-p=\frac{3}{4}. \]
Шаг 3: Вычислим вероятности для \(k=2,3,4,5\).
Для \(k=2\): \[ P(X=2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = 10 \times \frac{27}{1024} = \frac{270}{1024} \approx 0.2637. \]
Для \(k=3\): \[ P(X=3) = \binom{5}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} = 10 \times \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} \approx 0.0879. \]
Для \(k=4\): \[ P(X=4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{256} \times \frac{3}{4} = 5 \times \frac{3}{1024} = \frac{15}{1024} \approx 0.0146. \]
Для \(k=5\): \[ P(X=5) = \binom{5}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{1024} \times 1 = \frac{1}{1024} \approx 0.00098. \]
Шаг 4: Находим сумму вероятностей
\[ P(X \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \approx 0.2637 + 0.0879 + 0.0146 + 0.00098. \]
Выполним сложение: \[ 0.2637 + 0.0879 = 0.3516, \] \[ 0.3516 + 0.0146 = 0.3662, \] \[ 0.3662 + 0.00098 \approx 0.3672. \]
Итог:
Вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, примерно равна \(\boxed{0.37}\).
Ответ — 0.37 (округлено до сотых).
