| a| = 7; |b|= 6, а угол между векторами а и b равен 120°. Найдите скалярное произведение a×(a+b).
Рассмотрим задачу по шагам, чтобы найти скалярное произведение вектора \( \mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \).
Шаг 1. Дано:
- \(|\mathbf{a}| = 7\)
- \(|\mathbf{b}| = 6\)
- угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен 120°
Шаг 2. Определим необходимые компоненты
Нам нужно найти: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \]
Со свойствами векторного произведения: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{a} + \mathbf{a} \times \mathbf{b} \]
Поскольку векторное произведение равно нулю, если векторы совпадают: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} \]
Значит: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} \]
Шаг 3. Найдём \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)
Модуль векторного произведения: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin \theta \]
где \( \theta \) — угол между векторами.
Подставим значения: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 7 \times 6 \times \sin(120^\circ) \]
Знаем, что: \[ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Следовательно: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 7 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 42 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 \sqrt{3} \]
Шаг 4. Итог
Поскольку \(\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\), то
\[ \boxed{ \mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} } \]
и его модуль равен \(21 \sqrt{3}\).
Ответ:
Модуль векторного произведения \(\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b})\) равен \(21 \sqrt{3}\).
