Рассмотрим задачу по шагам, чтобы найти скалярное произведение вектора ( \mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ).
Шаг 1. Дано:
- (|\mathbf{a}| = 7)
- (|\mathbf{b}| = 6)
- угол между векторами (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равен 120°
Шаг 2. Определим необходимые компоненты
Нам нужно найти:
[
\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b})
]
Со свойствами векторного произведения:
[
\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{a} + \mathbf{a} \times \mathbf{b}
]
Поскольку векторное произведение равно нулю, если векторы совпадают:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}
]
Значит:
[
\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}
]
Шаг 3. Найдём ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} )
Модуль векторного произведения:
[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin \theta
]
где ( \theta ) — угол между векторами.
Подставим значения:
[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 7 \times 6 \times \sin(120^\circ)
]
Знаем, что:
[
\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Следовательно:
[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 7 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 42 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 \sqrt{3}
]
Шаг 4. Итог
Поскольку (\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}), то
[
\boxed{
\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}
}
]
и его модуль равен (21 \sqrt{3}).
Ответ:
Модуль векторного произведения (\mathbf{a} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b})) равен (21 \sqrt{3}).
