Сторона равностороннего треугольника равна 9 3 9 3 . Найди радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Давайте решим задачу пошагово. У нас есть равносторонний треугольник со стороной \(a = 9\frac{1}{3}\), и нужно найти радиус вписанной окружности \(r\).

Шаг 1. Запись данных

• Сторона треугольника: \(a = 9 \frac{1}{3} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{27}{3} + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}\).

Шаг 2. Формулы для равностороннего треугольника

• Площадь равностороннего треугольника: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
• Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{2S}{a + a + a} = \frac{2S}{3a} = \frac{2S}{3a} \] или, по другой формуле: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Это более удобная формула для равностороннего треугольника.

Шаг 3. Подставляем значение стороны в формулу

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Подставим \(a = \frac{28}{3}\): \[ r = \frac{\frac{28}{3} \times \sqrt{3}}{6} \]

Шаг 4. Упростим выражение

\[ r = \frac{28 \sqrt{3}}{3 \times 6} \] \[ r = \frac{28 \sqrt{3}}{18} \] Можно сократить числитель и знаменатель на 2: \[ r = \frac{14 \sqrt{3}}{9} \]

Итог:

\[ \boxed{ r = \frac{14 \sqrt{3}}{9} } \]

Это — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника с длиной стороны \(9\frac{1}{3}\).

Если нужно более точное численное значение, то: \[ r \approx \frac{14 \times 1.732}{9} \approx \frac{24.248}{9} \approx 2.694 \]

Ответ: радиус вписанной окружности равен \(\frac{14 \sqrt{3}}{9}\) или примерно 2.694.